원 위의 점과 내적

$\displaystyle {\vec{\mathrm{AE}}} = {\vec{\mathrm{AD}}} + \frac{1}{2} {\vec{\mathrm{BA}}}$에서 점 ${\mathrm{E}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = 4$, $\displaystyle \angle {\mathrm{ADE}} = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형 ${\mathrm{ADE}}$의 한 꼭짓점이다. 선분 ${\mathrm{BC}}$를 지름으로 하는 원을 $C$, 점 ${\mathrm{A}}$를 지나면서 직선 ${\mathrm{AE}}$에 수직인 직선을 $l$이라 하자. 직선 $l$이 선분 ${\mathrm{BC}}$와 만나는 점을 ${\mathrm{O}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{BO}}} = {\overline{\mathrm{AD}}} : {\overline{\mathrm{DE}}} = 2 : 1$이므로 점 ${\mathrm{O}}$는 선분 ${\mathrm{BC}}$의 중점이다. 즉, 점 ${\mathrm{O}}$는 원 $C$의 중심이다. 직선 $l$이 원 $C$와 만나는 두 점 중 점 ${\mathrm{A}}$와 가까운 점을 ${\mathrm{A}} _{1}$, 다른 한 점을 ${\mathrm{A}} _{2}$라 하자. 두 벡터 ${\vec{\mathrm{AE}}}$, ${\vec{\mathrm{AP}}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta \left( 0 \leq \theta \leq \pi \right)$라 하자. (ⅰ) ${\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AP}}} \geq 0$인 경우 ${\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AP}}} = \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{AP}}} \right| \cos \theta \geq 0$을 만족시키는 $\theta$의 값의 범위는 $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 점 ${\mathrm{P}}$는 점 ${\mathrm{C}}$를 포함하는 호 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{A}} _{2}$ 위의 점이다. ${\vec{\mathrm{BQ}}} + {\vec{\mathrm{CQ}}} = 4 {\vec{\mathrm{PQ}}}$에서 $\left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OB}}} \right) + \left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OC}}} \right) = 4 \left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OP}}} \right)$, ${\vec{\mathrm{OQ}}} = 2 {\vec{\mathrm{OP}}}$ 두 벡터 ${\vec{\mathrm{AE}}}$, ${\vec{\mathrm{AQ}}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta _{1}$이라 하자. 점 ${\mathrm{P}}$는 중심이 ${\mathrm{O}}$이고 반지름의 길이가 $4$인 원 위의 점이므로 점 ${\mathrm{Q}}$는 중심이 ${\mathrm{O}}$이고 반지름의 길이가 $8$인 원 위의 점 중 $\displaystyle 0 \leq \theta _{1} \leq \frac{\pi}{2}$를 만족시키는 점이다. (ⅱ) ${\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AP}}} < 0$인 경우 ${\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AP}}} = \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{AP}}} \right| \cos \theta < 0$을 만족시키는 $\theta$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$ 점 ${\mathrm{P}}$는 점 ${\mathrm{B}}$를 포함하는 호 ${\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{A}} _{2}$ 위의 점이다. ${\vec{\mathrm{BQ}}} + {\vec{\mathrm{CQ}}} = 6 {\vec{\mathrm{PQ}}}$에서 $\left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OB}}} \right) + \left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OC}}} \right) = 6 \left( {\vec{\mathrm{OQ}}} - {\vec{\mathrm{OP}}} \right)$, $\displaystyle {\vec{\mathrm{OQ}}} = \frac{3}{2} {\vec{\mathrm{OP}}}$ 두 벡터 ${\vec{\mathrm{AE}}}$, ${\vec{\mathrm{AQ}}}$가 이루는 각의 크기를 $\theta _{2}$라 하자. 점 ${\mathrm{P}}$는 중심이 ${\mathrm{O}}$이고 반지름의 길이가 $4$인 원 위의 점이므로 점 ${\mathrm{Q}}$는 중심이 ${\mathrm{O}}$이고 반지름의 길이가 $6$인 원 위의 점 중 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta _{2} \leq \pi$를 만족시키는 점이다.

${\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$$= {\vec{\mathrm{AE}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{AO}}} + {\vec{\mathrm{OQ}}} \right) = {\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AO}}} + {\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}}$ $= {\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{OQ}}}$ $\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| = \sqrt{8 ^{2} + 4 ^{2}} = 4 \sqrt{5}$ 두 벡터 ${\vec{\mathrm{OQ}}}$, ${\vec{\mathrm{AE}}}$가 서로 평행하고 방향이 같을 때 ${\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$의 값이 최대이고, 두 벡터 ${\vec{\mathrm{OQ}}}$, ${\vec{\mathrm{AE}}}$가 서로 평행하고 방향이 반대일 때 ${\vec{\mathrm{AE}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}$의 값이 최소이므로 (ⅰ)에서 $\displaystyle M = \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| = 4 \sqrt{5} \times 8 = 32 \sqrt{5}$ (ⅱ)에서 $\displaystyle m = - \left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| = - 4 \sqrt{5} \times 6 = - 24 \sqrt{5}$ 따라서 $\displaystyle \left( M + m \right) ^{2} = \left( 8 \sqrt{5} \right) ^{2} = 320$