원 위의 점과 명제의 참거짓

그림에서 $\angle {\mathrm{OP} _{1} H} = \theta$라고 하면 $\angle {\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{P}} _{n + 1} {\mathrm{P}} _{n + 2} \mathit{=} 2 \theta ,$ $\displaystyle \sin \theta = \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OP} _{1}} = \frac{1}{r}$이다. ㄱ. $\displaystyle r > \sqrt{2}$이면 $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{r} < \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 $\theta < 45 ^\circ$ $\therefore \angle \mathrm{P} _{1} P _{2} P _{3} \mathit{=} 2 \theta < 90 ^\circ$ (참) ㄴ. $\displaystyle r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$이면 $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$에서 $\theta = 60 ^\circ$이므로 $\angle {\mathrm{OP}} _{n} {\mathrm{P}} _{n + 1} \mathit{=} 60 ^\circ ,$ $\angle {\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{P}} _{n + 1} {\mathrm{P}} _{n + 2} \mathit{=} 120 ^\circ$이다. 따라서 $\displaystyle r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$이면 한 내각의 크기가 $120 ^\circ$이므로 정육각형이 된다.

그러므로 그림에서와 같이 ${\mathrm{P} _{5}}$의 좌표는 ${\mathrm{P} _{2}}$의 좌표의 원점 대칭이다. $\displaystyle {\mathrm{P} _{2}} ( x , y ) \mathit{=} \left( \frac{2 \sqrt{3}}{3} \mathrm{\cos} \mathit{60} ^\circ , \frac{2 \sqrt{3}}{3} \mathrm{\sin} \mathit{60} ^\circ \right)$ $\displaystyle = \left( \frac{\sqrt{3}}{3} , 1 \right)$ $\displaystyle \therefore \mathrm{P} _{5} \mathit{\left( - \frac{\sqrt{3}}{3} , - 1 \right)}$ (거짓) ㄷ. $\angle \mathrm{P} _{1} P _{2} P _{3} \mathit{=} 100 ^\circ$이면, $\angle {\mathrm{P}} _{n} {\mathrm{OP}} _{n + 1} \mathit{=} 80 ^\circ$이다. 따라서 $80 \times n = 360 \times m$인 최소의 양의 정수 $m , n$은 각각 $n = 9 , m = 2$이다. 그러므로 $\mathrm{P} _{1} = P _{10}$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.