원 위의 점을 회전한 점이 원 위에 있음의 증명

다음은 원 $x ^{2} + y ^{2} = 13$ 위의 점 $\mathrm{P} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )$에 대하여 점 $\mathrm{Q} \mathit{(} - y _{1} , x _{1} )$도 이 원 위에 있고 두 직선 $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OQ}$가 서로 수직임을 보인 뒤 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 구하는 과정이다. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고 $x _{1} y _{1} \ne 0$이다.)

점 $\mathrm{P} \mathit{(} x _{1} , y _{1} )$이 원 위의 점이므로 $x _{1} ^{2} + y _{1} ^{2} = 13$ 점 $\mathrm{Q} \mathit{(} - y _{1} , x _{1} )$에 대하여 $( - y _{1} ) ^{2} + x _{1} ^{2} = y _{1} ^{2} + x _{1} ^{2} =$ (가) 이므로 점 $\mathrm{Q}$도 원 $x ^{2} + y ^{2} = 13$ 위에 있다. 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{y _{1}}{x _{1}}$, 직선 $\mathrm{OQ}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{x _{1}}{- y _{1}}$이므로 두 기울기의 곱은 (나) 이다. 따라서 두 직선 $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OQ}$는 서로 수직이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OQ}} = \sqrt{13}$이므로 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이는 (다) 이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$, $r$라 할 때, $p + q + r$의 값을 구하시오. [3점]