공통수학2원의 방정식AI아주 기초 (2점~3점 초반)

원 위의 점에서의 접선의 방정식 구하기

문제

다음은 그림과 같이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25$ 위의 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 3 , 4 )$ 에서의 접선 $l$ 의 방정식을 구하는 과정이다.

원의 중심 $\mathrm{O}$ 와 접점 $\mathrm{A}$ 를 지나는 직선 $\mathrm{OA}$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{4}{3}$ 이다. 접선 $l$ 은 직선 $\mathrm{OA}$ 와 수직이므로 접선 $l$ 의 기울기는 (가) 이다. 따라서 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 3 , 4 )$ 를 지나고 기울기가 (가) 인 접선 $l$ 의 방정식은 $3 x + 4 y =$ (나)

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 적은 것은? [2점] ① $\displaystyle - \frac{3}{4}$ , $25$ ② $\displaystyle - \frac{3}{4}$ , $7$ ③ $\displaystyle \frac{3}{4}$ , $25$ ④ $\displaystyle - \frac{4}{3}$ , $25$ ⑤ $\displaystyle \frac{4}{3}$ , $7$

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①

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해설

직선 $\mathrm{OA}$ 의 기울기가 $\displaystyle \frac{4}{3}$ 이고 접선 $l$ 은 직선 $\mathrm{OA}$ 와 수직이므로 (접선 $l$ 의 기울기) $\displaystyle \times \frac{4}{3} = - 1$ 에서 접선 $l$ 의 기울기는 $\displaystyle - \frac{3}{4}$ 접선 $l$ 의 방정식은 $\displaystyle y - 4 = - \frac{3}{4} ( x - 3 )$ 양변에 $4$ 를 곱하여 정리하면 $4 y - 16 = - 3 x + 9$ , 곧 $3 x + 4 y = 25$ 따라서 (가)는 $\displaystyle - \frac{3}{4}$ , (나)는 $25$ 이다. ①

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