원 위를 움직이는 점에서 그은 접선의 길이의 최댓값

원 $( x - 3 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 4$ 의 중심을 $\mathrm{C} ( 3 , 4 )$, 반지름의 길이를 $2$, 접점을 $\mathrm{T}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PT}} ^{2} = \overline{\mathrm{CP}} ^{2} - 4$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}}$ 가 최대일 때 접선의 길이가 최대이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$ 이고 점 $\mathrm{P}$ 는 원점 $\mathrm{O}$ 가 중심이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}} \leq \overline{\mathrm{OC}} + 1 = 6$ 따라서 접선의 길이의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{6 ^{2} - 4} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ ③