공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위 정수 거리 점

문제

그림과 같이 두 점 A(4,0)\mathrm{A} ( 4 , 0 ), B(10,0)\mathrm{B} ( 10 , 0 )을 지나고 반지름의 길이가 55인 원이 있다. 원점 O\mathrm{O}와 원 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 OP\mathrm{OP}의 길이가 정수가 되게 하는 점 P\mathrm{P}의 개수를 구하시오. (단, 원의 중심은 제 11사분면에 있다.) [4점]

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해설

[출제의도] 원의 방정식을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 원의 중심 C(a,b)\mathrm{C} ( \mathit{a} , b )에서 현 AB\mathrm{AB}에 수선의 발 H\mathrm{H}를 내리면 AH‾=3,r=5\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = 3 , \mathit{r} = 5 ∴CH‾=4\displaystyle \mathrm{\therefore} \overline{CH} = 4 따라서 원의 방정식은 (x−7)2+(y−4)2=52( x - 7 ) ^{2} + ( y - 4 ) ^{2} = 5 ^{2}

원점 O\mathrm{O}에서 원 위의 점 P\mathrm{P}까지의 거리의 최솟값은 72+42−5\displaystyle \sqrt{7 ^{2} + 4 ^{2}} - 5, 최댓값은 72+42+5\displaystyle \sqrt{7 ^{2} + 4 ^{2}} + 5 ∴65−5≤OP‾≤65+5\displaystyle \mathrm{\therefore} \sqrt{65} - \mathit{5} \leq \mathrm{\overline{OP}} \leq \sqrt{65} + \mathit{5} 선분 OP\mathrm{OP}의 길이가 될 수 있는 정수는 4,5,⋯ ,134 , 5 , \cdots , 13의 1010(개)이고, 각각에 대하여 점 P\mathrm{P}는 22개씩 존재한다. 따라서 선분 OP\mathrm{OP}의 길이가 정수가 되는 점 P\mathrm{P}의 개수는 2020(개)이다.

태그

#원#두 점 사이의 거리

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