공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 점과 역행렬

문제

좌표평면 위의 점 P(a,b){\mathrm{P}} \left( a , b \right)는 중심이 (2,0)\left( 2 , 0 \right)이고 반지름의 길이가 11인 원 위에 있다. x,yx , y에 대한 연립방정식 (a−2−bba−2)(xy)=(11)\displaystyle {\begin{pmatrix} a - 2 & & - b \\ b & & a - 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}}의 해를 x=α,y=βx = \alpha , y = \beta라 할 때, α−β\alpha - \beta의 값과 항상 같은 것은? [4점] ①2a2 a②2b2 b③3a3 a④3a+13 a + 1⑤3b+23 b + 2

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②

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해설

[출제의도] 행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해 구하기 점 P(a,b)\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )가 중심이 (2,0)( 2 , 0 )이고 반지름의 길이가 11인 원 위에 있으므로 (a−2)2+b2=1( a - 2 ) ^{2} + b ^{2} = 1이다. 따라서 행렬 (a−2−bba−2)\displaystyle \begin{pmatrix} a - 2 & - b \\ b & a - 2 \end{pmatrix}는 (a−2)2+b2=1≠0( a - 2 ) ^{2} + b ^{2} = 1 \ne 0이므로 역행렬이 존재한다. (xy)=(a−2−bba−2)−1(11)\displaystyle \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} a - 2 & - b \\ b & a - 2 \end{pmatrix}} ^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} =1(a−2)2+b2(a−2b−ba−2)(11)\displaystyle = \frac{1}{( a - 2 ) ^{2} + b ^{2}} \begin{pmatrix} a - 2 & b \\ - b & a - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} =(a−2b−ba−2)(11)\displaystyle = \begin{pmatrix} a - 2 & b \\ - b & a - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} =(a−2+b−b+a−2)\displaystyle = \begin{pmatrix} a - 2 + b \\ - b + a - 2 \end{pmatrix} 따라서 α=a−2+b\alpha = a - 2 + b, β=−b+a−2\beta = - b + a - 2이다. ∴α−β=a−2+b−(−b+a−2)=2b\therefore \alpha - \beta = a - 2 + b - ( - b + a - 2 ) = 2 b

태그

#역행렬#원

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