공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 점과 역행렬

문제

원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 이 네 직선 $x = 0$ , $y = 0$ , $y = x$ , $y = - x$ 와 만나는 점 중 하나를 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$ , 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$ 가 직선 $y = x$ 와 만나는 점 중 하나를 $\mathrm{Q} ( \mathit{c} , d )$ 라 하자. 두 점 $\mathrm{P}$ , $\mathrm{Q}$ 의 $x , y$ 좌표를 성분으로 하는 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 에 대하여 행렬 $A$ 의 역행렬이 존재하도록 하는 점 $\mathrm{P}$ 는 모두 몇 개인가? [4점]

① $4$ 개② $5$ 개③ $6$ 개④ $7$ 개⑤ $8$ 개

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③

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해설

[출제의도] 행렬의 표현과 역행렬에 관한 이해력을 측정한다.

점 $\mathrm{Q} \mathit{(} c , d )$ 는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$ 와 직선 $y = x$ 의 교점이므로 $c = d \ne 0$ 이다. 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix} a & b \\ c & c \end{pmatrix}$ 의 역행렬이 존재하려면 $ac - bc \ne 0$ , $ac \ne bc$ $\therefore$ $a \ne b$ 따라서 점 $\mathrm{P}$ 중에서 $a \ne b$ 인 점은 그림에서 모두 $6$ 개다.

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