원 위 점과 삼각형

[출제의도] 조건을 만족시키는 원 위의 점의 위치를 추론한다. 원 $\left( x - a \right) ^{2} + \left( y + a \right) ^{2}$$= 9 a ^{2}$을 $C$라 하자. 원 $C$의 방정식에 $y$$= 0$을 대입하면 $\left( x - a \right) ^{2} + \left( 0 + a \right) ^{2}$$= 9 a ^{2}$에서 $\left( x - a \right) ^{2}$$= 8 a ^{2}$ $x$$\displaystyle = a \pm 2 \sqrt{2} a$ 이므로 원 $C$와 $x$축이 만나는 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = \left( a + 2 \sqrt{2} a \right) - \left( a - 2 \sqrt{2} a \right)$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} a$ 한편, 원 $C$의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 $\mathrm{C} ( \mathit{a} , - a )$이다. 삼각형 $\mathrm{ABP}$에서 선분 $\mathrm{AB}$를 밑변으로 할 때 높이를 $h$라 하고, 직선 $\mathrm{AB}$에 평행하면서 직선 $\mathrm{AB}$와의 거리가 $h$인 두 직선을 $y$절편이 큰 것부터 차례로 $l _{1}$, $l _{2}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이가 $\displaystyle 8 \sqrt{2}$가 되도록 하는 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$의 개수가 $3$이 되려면 원과 직선 $l _{1}$ 또는 직선 $l _{2}$가 만나는 점의 개수가 $3$이어야 한다. 이때 선분 $\mathrm{AB}$는 $x$축 위에 있고 점 $\mathrm{C}$의 $y$좌표가 음수이므로 직선 $l _{1}$은 원 $C$와 한 점에서 만나고, 직선 $l _{2}$는 원 $C$와 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. 직선 $l _{1}$과 원 $C$가 만나는 점을 $\mathrm{P} _{1}$, 직선 $l _{2}$와 원 $C$가 만나는 점을 $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}$이라 하자.

점 $\mathrm{P} _{1}$의 좌표는 $( a , 2 a )$이므로 점 $\mathrm{P} _{1}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} H}}$$= 2 a$ 이때 삼각형 $\mathrm{ABP} _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{P _{1} H}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} a \times 2 a$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} a ^{2}$ 이므로 $\displaystyle 4 \sqrt{2} a ^{2}$$\displaystyle = 8 \sqrt{2}$에서 $a ^{2} = 2$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \sqrt{2}$

점 $\mathrm{P}$가 될 수 있는 나머지 두 점 $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}$에 대하여 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{P} _{2} P _{3}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABP} _{2}$와 삼각형 $\mathrm{ABP} _{3}$의 넓이가 모두 $\displaystyle 8 \sqrt{2}$이려면 $\displaystyle \mathrm{\overline{HI}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{HP _{1}}}$$= \mathit{2} a$이어야 한다. 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{CI}}$$= \mathit{a}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{P _{2} P _{3}}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{AB}}$$\displaystyle = 4 \sqrt{2} a$ 삼각형 $\mathrm{P} _{1} P _{2} P _{3}$의 넓이 $S$는 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{\times} {\overline{P _{2} P _{3}}} \times {\overline{P _{1} I}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} a \times 4 a$ $\displaystyle = 8 \sqrt{2} a ^{2}$ $\displaystyle = 16 \sqrt{2}$ 따라서 $a {\times} S$$\displaystyle = \sqrt{2} {\times} 16 \sqrt{2}$$= 32$