원 위 점과 넓이

[출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 이용하여 추론하기 두 점 $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0 , \sqrt{3} \right)$, $\mathrm{B} \left( 1 , 0 \right)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{0 - \sqrt{3}}{1 - 0} x + \sqrt{3}$, $\displaystyle \sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$ 이다. 원 $C$의 중심 $\left( 1 , 10 \right)$과 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| \sqrt{3} + 10 - \sqrt{3} \right|}{\sqrt{3 + 1}} = 5$ 이고 원 $C$의 반지름의 길이는 $3$이므로 원 $C$ 위의 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리를 $h$라 하면 $2 \leq h \leq 8$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $\displaystyle \sqrt{1 + 3} = 2$이고 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이를 $S$라 할 때 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \times h$$= h$이므로 $S$가 자연수이려면 $h$가 자연수이어야 한다. 직선 $\mathrm{AB}$와 평행한 직선 중에서 원 $C$의 중심으로부터의 거리가 $\left| 5 - h \right|$이고 직선 $\mathrm{AB}$와의 거리가 $h$인 직선을 $l$이라 하자. (ⅰ) $h = 2$일 때

직선 $l$과 원 $C$는 한 점에서 만나므로 점 $\mathrm{P}$의 개수는 $1$ (ⅱ) $3 \leq h \leq 7$일 때

직선 $l$과 원 $C$는 서로 다른 두 점에서 만나므로 점 $\mathrm{P}$의 개수는 $5 \times 2 = 10$ (ⅲ) $h = 8$일 때

직선 $l$과 원 $C$는 한 점에서 만나므로 점 $\mathrm{P}$의 개수는 $1$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 점 $\mathrm{P}$의 개수는 $1 + 10 + 1 = 12$