원 위 점과 직선 최소 거리

[출제의도] 원과 직선 사이의 거리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 원점에서의 거리가 최대인 직선 $l$은 원점과 점 $( 3 , 4 )$를 연결한 직선과 수직으로 만나야 한다. 점 $( 3 , 4 )$를 지나는 직선의 방정식을 $y = a ( x - 3 ) + 4$라 할 때 원점과 점 $( 3 , 4 )$를 연결한 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle a = - \frac{3}{4}$ 따라서 직선 $l$의 방정식을 정리하면 $3 x + 4 y - 25 = 0$ 원의 중심 $( 7 , 5 )$와 직선 $l$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{| 21 + 20 - 25 |}{\sqrt{9 + 16}}$$\displaystyle = \frac{16}{5}$ 이고 원의 반지름의 길이가 $1$이므로 원 위의 점 $\mathrm{P}$와 직선 $l$ 사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle m = \frac{16}{5} - 1 = \frac{11}{5}$ 따라서 $10 m = 22$