미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 점 y좌표 최대

문제

그림과 같이 좌표평면에 점 A(1,0)\mathrm{A} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}을 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 원이 있다. 원 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 ∠AOQ=θ\angle \mathrm{AOQ} = \theta(0<θ<π3\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{3})라 할 때, 선분 OQ\mathrm{OQ} 위에 PQ‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = 1인 점 P\mathrm{P}를 정한다. 점 P\mathrm{P}의 yy좌표가 최대가 될 때 cos⁡θ=a+b8\displaystyle \cos \theta = \frac{a + \sqrt{b}}{8}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이고, aa와 bb는 자연수이다.) [4점]

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해설

A\mathrm{A}에서 OQ\mathrm{OQ}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. OH‾=OA‾cos⁡θ=cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OH} = \overline{OA} \cos \theta = \cos \theta} OQ‾=2OH‾=2cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{OQ} = 2 \overline{OH} = 2 \cos \theta} ∴OP‾=OQ‾−PQ‾=2cos⁡θ−1\displaystyle \mathrm{\therefore \overline{OP} = \overline{OQ} - \overline{PQ} = 2 \cos \theta - 1} P\mathrm{P}에서 xx축에 내린 수선의 발을 H1\mathrm{H _{1}}이라 하면 P\mathrm{P}의 yy좌표는 f(θ)f ( \theta )==PH‾1\displaystyle \mathrm{\overline{PH} _{1}}=(2cos⁡θ−1)sin⁡θ= ( 2 \cos \theta - 1 ) \sin \theta이다. f′(θ)=−2sin⁡2θ+(2cos⁡θ−1)cos⁡θf' ( \theta ) = - 2 \sin ^{2} \theta + ( 2 \cos \theta - 1 ) \cos \theta=4cos⁡2θ−cos⁡θ−2= 4 \cos ^{2} \theta - \cos \theta - 2 따라서 cos⁡θ=1+338\displaystyle \cos \theta = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}일 떄 f(θ)f ( \theta )는 극댓값을 가지며 최댓값이 된다.

태그

#삼각함수 미분#최대

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