원 위 점 연립방정식

[출제의도] 역행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 3 a \\ 3 b \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}} = \frac{1}{3} {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 3 a \\ 3 b \end{pmatrix}}$이므로 $\alpha + \beta = \left( 2 a - b \right) + \left( - a + 2 b \right) = a + b$ 점 $( a , b )$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 200$ 위의 점이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 200$ $a + b = k$라 할 때, $\displaystyle \frac{\left| k \right|}{\sqrt{2}} \leq 10 \sqrt{2}$

∴ $- 20 \leq k \leq 20$ 따라서 $\alpha + \beta$의 최댓값은 $20$