원 위 점 삼각형 넓이 최대

[출제의도] 대칭이동의 성질 이해하여 문제해결하기

$\displaystyle y = \sqrt{3} x + 6$ $\displaystyle \mathrm{Q} \left( - \frac{3 \sqrt{3}}{2} , \frac{3}{2} \right)$ $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ $x ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} = 9$ $\displaystyle \frac{5}{2}$ $x ^{2} + y ^{2} = 9$

그림과 같이 원 $x ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} = 9$위의 점 $\mathrm{P}$를 주어진 조건에 의해 옮긴 점 $\mathrm{Q}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 9$위를 움직인다. 점 $\mathrm{Q}$를 접점으로 하는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 9$의 접선 중 직선 $\mathrm{AB}$에 평행하고, 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표가 음수일 때, 삼각형 $\mathrm{ABQ}$의 넓이가 최대이다. 기울기가 $\displaystyle \sqrt{3}$인 원 $x ^{2} + y ^{2} = 9$의 접선의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{3} x \pm 6$ 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x \pm 6$과 원 $x ^{2} + y ^{2} = 9$가 만나는 점이 $\mathrm{Q}$이므로 $\displaystyle x ^{2} + \left( \sqrt{3} x \pm 6 \right) ^{2} = 9$ $\displaystyle 4 x ^{2} \pm 12 \sqrt{3} x + 27 = 0$ $\displaystyle \left( 2 x \pm 3 \sqrt{3} \right) ^{2} = 0$, $\displaystyle x = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \left( \because x < 0 \right)$ $\therefore$삼각형 $\mathrm{ABQ}$의 넓이가 최대인 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left( - \frac{3 \sqrt{3}}{2} , \frac{3}{2} \right)$ 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{Q}$를 $y$축에 대하여 대칭이동한 후 $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 점이다. $\therefore$점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} , \frac{5}{2} \right)$ 따라서 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \frac{5}{2}$