원 위 점 삼각형 넓이

원 $C$의 반지름의 길이를 $R$라 하면 원 $C$의 넓이가 $\displaystyle \frac{49}{3} \pi$이므로 $\displaystyle R ^{2} \pi = \frac{49}{3} \pi$, $\displaystyle R = \frac{7}{3} \sqrt{3}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BC}}}{\sin \frac{\pi}{3}} = \mathit{2} R$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2 \times \frac{7}{3} \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{a}$라 하면 코사인법칙에 의해 $\displaystyle 7 ^{2} = a ^{2} + 3 ^{2} - 2 \times a \times 3 \times \cos \frac{\pi}{3}$ $a ^{2} = 3 a - 40 = 0$, $( a - 8 ) ( a + 5 ) = 0$ $a > 0$이므로 $a = 8$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 8$이고 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \cos ( \mathrm{\angle} CBA ) = \frac{3 ^{2} + 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \times 3 \times 7} = \mathit{-} \frac{1}{7}$ 이므로 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \mathrm{\angle} CBA < \pi$가 되어 삼각형 $\mathrm{ABC}$는 둔각삼각형이다. 삼각형 $\mathrm{PAC}$의 넓이가 최대가 되도록 하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AC}$의 수직이등분선과 원 $C$의 두 교점 중 직선 $\mathrm{AC}$로부터 멀리 떨어져 있는 점이다. 그림과 같이 점 $\mathrm{Q}$에서 선분 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 원 $C$의 중심 $\mathrm{O}$는 선분 $\mathrm{QH}$ 위에 있다.

직각삼각형 $\mathrm{AHO}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \sqrt{\left( \frac{7}{3} \sqrt{3} \right) ^{2} - 4 ^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QH}} = \frac{8}{3} \sqrt{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{PAC}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{8}{3} \sqrt{3} = \frac{32}{3} \sqrt{3}$