미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위 점 넓이 최대

문제

그림과 같이 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 한 변 CB\mathrm{CB} 위에 점 D\mathrm{D}를 ∠DAB=π12\displaystyle \mathrm{\angle} DAB = \frac{\pi}{12}가 되도록 정하고, 선분 CD\mathrm{CD}를 지름으로 하는 원을 평면 ABC\mathrm{ABC} 위에 그린다. 이 원 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠CDP=θ\mathrm{\angle} CDP = \theta라 하자. 삼각형 ADP\mathrm{ADP}의 넓이가 최대가 되도록 하는 θ\theta에 대하여 sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta의 값은? [4점]

①18\displaystyle \frac{1}{8}②6−28\displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}③14\displaystyle \frac{1}{4}④6−24\displaystyle \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}⑤6+24\displaystyle \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

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②

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해설

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 삼각함수와 관련된 문제를 해결한다.

점 P\mathrm{P}에서 직선 AD\mathrm{A} D에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자. 삼각형 ADP\mathrm{ADP}의 높이 PH‾\displaystyle \overline{\mathrm{P} H}는 그림과 같이 점 P\mathrm{P}가 직선 AD\mathrm{AD}와 평행한 접선의 접점일 때 최대이다. ∠CDA=∠DAB+∠DBA=π12+π3=512π\displaystyle \mathrm{\angle} CDA = \angle DAB + \angle DBA = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} = \frac{5}{12} \pi이므로 ∠HOD=π2−∠CDA=π12\displaystyle \mathrm{\angle} HOD = \frac{\pi}{2} - \angle {\mathrm{C} DA} = \frac{\pi}{12} ∠HOD=∠ODP+∠OPD=2θ\mathrm{\angle} HOD = \angle ODP + \angle OPD = 2 \theta ∴ 2θ=π12\displaystyle 2 \theta = \frac{\pi}{12} sin⁡θcos⁡θ=12sin⁡2θ=12sin⁡(π3−π4)\displaystyle \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2 \theta = \frac{1}{2} \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) =12(32×22−12×22)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right) =6−28\displaystyle = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}

태그

#삼각함수#덧셈정리

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