원 위 점 내적 최대최소

점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{A}$를 선분 $\mathrm{BC}$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{A}'$이라 하고, 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자. $\mathrm{\vec{BA}} \bullet \vec{BC} = \mathrm{\vec{CB}} \bullet \vec{CD}$에서 $\mathrm{\vec{BA}} \bullet \vec{BC} - \mathrm{\vec{CB}} \bullet \vec{CD} = 0$, $\mathrm{\vec{BA}} \bullet \vec{BC} + \mathrm{\vec{BC}} \bullet \vec{CD} = 0$ $\mathrm{\vec{BC}} \bullet \left( \vec{BA} + \vec{CD} \right) = 0$ $\mathrm{\vec{BA}} = \mathrm{\vec{HA}} - \vec{HB}$이고, $\mathrm{\vec{CD}} = \mathrm{\vec{HD}} - \vec{HC}$이므로 $\mathrm{\vec{BC}} \bullet \left( \vec{HA} - \vec{HB} + \vec{HD} - \vec{HC} \right) = 0$ $\mathrm{\vec{BC}} \bullet \left( \vec{HA} + \vec{HD} \right) = 0$ ($\because$ $\mathrm{\vec{HB}} + \vec{HC} = \vec{0}$) $\mathrm{\vec{HA}} = - \mathrm{\vec{HA'}}$이므로 $\mathrm{\vec{BC}} \bullet \left( \vec{HD} - \vec{HA'} \right) = 0$, $\mathrm{\vec{BC}} \bullet \vec{A' D} = 0$ 따라서 $\mathrm{\vec{BC}}$와 $\mathrm{\vec{A' D}}$은 서로 수직이고 $\mathrm{\vec{BC}} \perp \mathrm{\vec{AA'}}$이므로 점 $\mathrm{D}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위의 점이고 다음 그림과 같이 직선 $\mathrm{AA}'$ 위에 존재한다.

$\mathrm{2} \vec{AC} \bullet \vec{AD} = \mathrm{\vec{DA}} \bullet \vec{DB}$에서 $\displaystyle \mathrm{2} \vec{AC} \bullet \vec{AD} = \mathrm{\overline{AD}} \times \overline{AA'}$ $\mathrm{\vec{DA}} \bullet \vec{DB}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AD}} \times \overline{DH}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AA'}} = \overline{DH}$, $\displaystyle \mathrm{2} \overline{AH} = \mathrm{\overline{HD}}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 3 \overline{AH}$ 이때 $\mathrm{\angle} ABH = \theta$라 하면 $\mathrm{\angle} ADO = \theta$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \mathit{x}$라 하면 $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{2} = \frac{1}{3 x}$, $\displaystyle x ^{2} = \frac{2}{3}$, $\displaystyle x = \frac{\sqrt{6}}{3}$

원 위의 점$\mathrm{X}$에 대하여 $\mathrm{\vec{DX}} = \mathrm{\vec{DO}} + \vec{OX}$이므로 $\mathrm{\vec{DX}} \bullet \vec{BC}$$= \mathrm{\left( \vec{DO} + \vec{OX} \right)} \bullet \vec{BC}$ $\mathrm{=} \vec{DO} \bullet \vec{BC} + \vec{OX} \bullet \vec{BC}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이때 $\mathrm{\vec{DO}}$와 $\mathrm{\vec{BC}}$가 이루는 각은 $\displaystyle \frac{\pi}{2} + \theta$이고 $\displaystyle \sin \theta = \frac{x}{2}$에서 $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}$, $\displaystyle \cos \theta = \sqrt{1 - \sin ^{2} \theta} = \frac{\sqrt{30}}{6}$ 또한 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \mathrm{2} \overline{BH}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2 ^{2} - x ^{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{4 - \frac{2}{3}}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{30}}{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DO}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AD}} \times \cos \theta$$\displaystyle = \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{30}}{6}$$\displaystyle = \sqrt{5}$ 이므로 ㉠에서 $\mathrm{\vec{DO}} \bullet \vec{BC}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{DO} \times \overline{BC} \times \cos \left( \frac{\pi}{2} + \theta \right)$ $\displaystyle = \mathrm{\sqrt{5}} \times 2 \overline{BH} \times \left( - \sin \theta \right)$ $\displaystyle = \sqrt{5} \times \frac{2 \sqrt{30}}{3} \times \left( - \frac{\sqrt{6}}{6} \right)$ $\displaystyle = - \frac{10}{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 점 $\mathrm{X}$가 원 위의 점이므로 $\mathrm{\left| \vec{OX} \right|} = 1$ $\displaystyle \mathrm{-} \overline{BC} \leq \mathrm{\vec{OX}} \bullet \vec{BC} \leq \overline{BC}$ $\displaystyle - \frac{2 \sqrt{30}}{3} \leq \mathrm{\vec{OX}} \bullet \vec{BC} \leq \frac{2 \sqrt{30}}{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 따라서 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 $\displaystyle \mathrm{-} \frac{10}{3} - \frac{2 \sqrt{30}}{3} \leq \vec{DX} \bullet \vec{BC} \leq - \frac{10}{3} + \frac{2 \sqrt{30}}{3}$ 이므로 $\displaystyle M = - \frac{10}{3} + \frac{2 \sqrt{30}}{3}$, $\displaystyle m = - \frac{10}{3} - \frac{2 \sqrt{30}}{3}$ $M \times m$$\displaystyle = \frac{100}{9} - \frac{120}{9}$$\displaystyle = - \frac{20}{9}$ 따라서 $\left| M m \right|$$\displaystyle = \frac{20}{9}$이므로 $p = 9$, $q = 20$ $\therefore$ $p + q = 29$