대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 점 이동 규칙

문제

자연수 $n$ 에 대하여 점 $\mathrm{P} _{n}$ 이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$ 위의 점일 때, 점 $\mathrm{P} _{n+1}$ 을 다음 규칙에 따라 정한다. (단, 점 $\mathrm{P} _{n}$ 은 좌표축 위의 점이 아니다.)

(가) 점 $\mathrm{P} _{n}$ 이 제 1 사분면 위의 점이면, 점 $\mathrm{P} _{n+1}$ 은 점 $\mathrm{P} _{n}$ 을 원 위의 호를 따라 시계 반대 방향으로 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 만큼 이동시킨 점이다. (나) 점 $\mathrm{P} _{n}$ 이 제 2 사분면 또는 제 4 사분면 위의 점이면, 점 $\mathrm{P} _{n+1}$ 은 점 $\mathrm{P} _{n}$ 을 $x$ 축에 대하여 대칭이동시킨 점이다. (다) 점 $\mathrm{P} _{n}$ 이 제 3 사분면 위의 점이면, 점 $\mathrm{P} _{n+1}$ 은 점 $\mathrm{P} _{n}$ 을 $y$ 축에 대하여 대칭이동시킨 점이다.

점 $\mathrm{P} _{1}$ 의 좌표가 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ 일 때, 점 $\mathrm{P} _{2007}$ 의 좌표는? [3점] ① $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ ② $\displaystyle \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} , - \frac{1}{2} \right)$ ③ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ ④ $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , - \frac{1}{2} \right)$ ⑤ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

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①

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해설

점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$ 의 좌표를 차례로 나열하면 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{P} _{1} \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{P} _{2} \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{P} _{3} \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} , - \frac{1}{2} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{P} _{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , - \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle \mathrm{P} _{5} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{P} _{6} \left( - \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ $\displaystyle \mathrm{P} _{7} \left( - \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{P} _{8} \left( \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ , $\displaystyle \mathrm{P} _{9} \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ , ⋯ 따라서 $\mathrm{P} _{\mathit{8} n + k}$ $( n$ 은 정수, $k$ $= 1 , 2 , 3 , \cdots , 8 )$ 의 좌표는 $\mathrm{P} _{\mathit{k}}$ 의 좌표와 같다. $2007 = 8 n + 7$ 꼴이므로 점 $\mathrm{P} _{2007}$ 의 좌표는 $\mathrm{P} _{7}$ 의 좌표와 같다. ∴ $\displaystyle \mathrm{P} _{2007} \left( - \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

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