미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 두 점 각

문제

그림과 같이 중심이 O\mathrm{O}이고 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 위의 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 ∠POB=2∠BOQ\angle \mathrm{POB} = 2 \angle BOQ, 3AP‾=7BQ‾\displaystyle 3 \mathrm{\overline{AP}} = 7 \overline{BQ}를 만족시킨다. ∠BOQ=θ\angle \mathrm{BOQ} = \theta라 할 때, 90cos⁡θ90 \cos \theta의 값을 구하시오. (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<θ<π2\displaystyle \left. 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right.)\displaystyle \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right) [4점]

θ\theta

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70

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해설

∠POB=2θ\mathrm{\angle} POB = 2 \theta이므로 ∠PAB=θ\angle \mathrm{PAB} = \theta, ∠BOQ=θ\mathrm{\angle} BOQ = \theta이므로 ∠QAB=θ2\displaystyle \angle \mathrm{QAB} = \frac{\theta}{2}이다. △ABP\mathrm{\triangle} ABP에서 AP‾=2cos⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 2 \cos \theta, △AQB\mathrm{\triangle} AQB에서 BQ‾=2sin⁡θ2\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = 2 \sin \frac{\theta}{2} 3AP‾=7BQ‾\displaystyle 3 \mathrm{\overline{AP}} = 7 \overline{BQ}이므로 3cos⁡θ=7sin⁡θ2\displaystyle 3 \cos \theta = 7 \sin \frac{\theta}{2}이다. sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\displaystyle \sin ^{2{\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}}}이므로 18cos⁡2θ+49cos⁡θ−49=018 \cos ^{2} \theta + 49 \cos \theta - 49 = 0이다. cos⁡θ=79\displaystyle \cos \theta = \frac{7}{9} (∵0<θ<π2)\displaystyle \left( \because 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) 따라서 90cos⁡θ=7090 \cos \theta = 70

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#원주각#반각공식

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