미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 속 도형 넓이 극한

문제

중심이 O\mathrm{O}이고, 두 점 A,B\mathrm{A} , B를 지름의 양 끝으로 하며 반지름의 길이가 11인 원 CC가 있다. 그림과 같이 원 CC 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 점 O\mathrm{O}를 지나고 직선 AP\mathrm{AP}와 평행한 직선이 선분 PB\mathrm{PB}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}, 호 PB\mathrm{PB}와 만나는 점을 R\mathrm{R}라 하자. ∠PAB=θ(0<θ<π2)\displaystyle \angle \mathrm{PAB} = \theta ( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} )라 하고, 점 Q\mathrm{Q}와 점 R\mathrm{R}를 지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 S(θ)S ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→+0S(θ)θ4=qpπ\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{4}}} = \frac{q}{p} \pi이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, QR‾<1\displaystyle \mathrm{\overline{QR} < 1}이고, pp와 qq는 서로소인 정수이다.) [4점]

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해설

∠QOB=θ\angle QOB = \theta이므로 (동위각) OR‾=OB‾cos⁡θ=cos⁡θ\displaystyle \overline{OR} = \overline{OB} \cos \theta = \cos \theta QR‾=1−OQ‾=1−cos⁡θ\displaystyle \overline{QR} = 1 - \overline{OQ} = 1 - \cos \theta에서 S(θ)θ4=π(1−cos⁡θ2)2θ4\displaystyle \frac{S ( \theta )}{\theta ^{4}} = \frac{\pi \left( \frac{1 - \cos \theta}{2} \right) ^{2}}{\theta ^{4}} 1−cos⁡θ2=sin⁡2θ2\displaystyle \frac{1 - \cos \theta}{2} = \sin ^{2} \frac{\theta}{2}이므로 lim⁡θ→0+S(θ)θ4=lim⁡θ→0+πsin⁡4θ2θ4\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{\theta ^{4}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\pi \sin ^{4} \frac{\theta}{2}}{\theta ^{4}}}}=lim⁡θ→0+π(sin⁡θ2θ)4=116π\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\pi \left( \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\theta} \right)} ^{4} = \frac{1}{16} \pi p+q=17p + q = 17

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#삼각함수의 극한#도형

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