미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

원 선분 길이 극한

문제

그림과 같이 길이가 22인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하고 중심이 점 O\mathrm{O}인 원 C1C _{1}이 있다. 원 C1C _{1} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠PAB=θ\angle \mathrm{PAB} = \theta라 하고, 선분 OP\mathrm{OP}에 접하고 중심이 점 B\mathrm{B}인 원 C2C _{2}를 그린다. 원 C2C _{2}와 선분 BP\mathrm{BP}의 교점을 점 Q\mathrm{Q}라 할 때, lim⁡θ→+0PQ‾θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{{\mathrm{\overline{PQ}}}}{\theta ^{3}}의 값은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4})\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} ) [4점]

①12\displaystyle \frac{1}{2}②34\displaystyle \frac{3}{4}③11④54\displaystyle \frac{5}{4}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

단답형
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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 원 C2C _{2}와 선분 OP{\mathrm{OP}}의 접점을 점 R\mathrm{R}라 하자.

θ\theta

BP‾=2sin⁡θ\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = 2 \mathit{\sin} \theta, ∠ROB=2θ\angle \mathrm{ROB} = 2 \theta이므로, BR‾=sin⁡2θ=BQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{BR}} = \sin 2 \theta = \mathrm{\overline{BQ}} PQ‾=PB‾−BQ‾=2sin⁡θ−sin⁡2θ\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PB} - \overline{BQ} = \mathit{2} \sin \theta - \sin 2 \theta =2sin⁡θ−2sin⁡θcos⁡θ=2sin⁡θ(1−cos⁡θ)= 2 \sin \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta ( 1 - \cos \theta ) lim⁡θ→0+PQ‾θ3=lim⁡θ→0+2sin⁡θ(1−cos⁡θ)θ3\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{\theta ^{3}}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} { \frac{2 \sin \theta ( 1 - \cos \theta )}{\theta ^{3}}} =lim⁡θ→0+2sin⁡θθ⋅sin⁡2θθ2⋅11+cos⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {2 \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \frac{\sin ^{2} \theta}{\theta ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + \cos \theta}} =1= 1

태그

#삼각함수 극한#도형

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