미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 색칠 넓이 극한

문제

원에 다음 과정을 실행한다.

[과정] Ⅰ. 원의 지름을 2:12 : 1로 내분하는 점을 잡는다. Ⅱ. 이 원에 내접하면서 Ⅰ의 내분점에서 서로 외접하는 두 개의 원을 그린다.

지름의 길이가 66인 원이 있다. 이 원에 [과정]을 실행하여 그린 22개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 C1C _{1}이라 하자. 그림 C1C _{1}에서 새로 그려진 22개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 44개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 C2C _{2}라 하자. 그림 C2C _{2}에서 새로 그려진 44개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 88개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 C3C _{3}이라 하자. 그림 C3C _{3}에서 새로 그려진 88개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 1616개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 C4C _{4}라 하자. 이와 같은 방법으로 nn번째 얻어진 그림 CnC _{n}에서 색칠된 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn=\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} =qpπ\displaystyle \frac{q}{p} \pi(pp와 qq는 서로소인 자연수)이다. p+qp + q _{{} _{{} _{}}} {}_{{} _{{} _{}}}의 값을 구하시오. (단, 모든 원의 중심은 처음 원의 한 지름 위에 있다.) [4점]

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 무한등비급수의 합 구하기 지름이 66인 원의 넓이를 A0A _{0}, (A0=9π)( A _{0} = 9 \pi ) C1C _{1}에서 그려진 22개 원의 넓이의 합을 A1A _{1}, C2C _{2}에서 그려진 44개의 원의 넓이의 합을 A2A _{2},⋯\cdots CnC _{n}에서 그려진 2n2 ^{n}개의 원의 넓이의 합을 AnA _{n}이라 하자. C1C _{1}에서 바깥 원을 O1O _{1}, O1O _{1}의 내부에 내접하는 두 원을 크기 순서대로 O2O _{2}, O3O _{3}라 하면 넓이의 비는 9:4:19 : 4 : 1이므로 A1=59A0\displaystyle A _{1} = \frac{5}{9} A _{0}이다. CnC _{n}에서 한 원과 그 원에 내접하는 두 원의 넓이의 비가 O1O _{1}, O2O _{2}, O3O _{3}의 넓이의 비와 같으므로 An=59An−1\displaystyle A _{n} = \frac{5}{9} A _{n-1}이다. 따라서 CnC _{n}에서 색칠된 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 하면 lim⁡n→∞Sn=A0{59−(59)2+(59)3−(59)4+⋯ \displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n} = A _{0} \left\{ \frac{5}{9} - \left( \frac{5}{9} \right) ^{2} + \left( \frac{5}{9} \right) ^{3} - \left( \frac{5}{9} \right) ^{4} + \cdots \right. =4514π\displaystyle = \frac{45}{14} \pi이다. ∴\therefore p+q=59p + q = 59

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#무한등비급수#도형

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