원 넓이 무한급수

[출제의도] 무한등비급수의 합을 적용한 문제 해결하기 $n$번째 그린 정사각형을 $A _{n}$, $A _{n}$의 외접원을 $O _{n}$, 원 $O _{n}$의 반지름의 길이를 $R _{n}$, $O _{n}$의 내부와 $A _{n}$의 외부에서 접하는 최대원의 넓이를 $T _{n}$, 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하면 $\displaystyle R _{1} = 1 , R _{n+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} R _{n,} \therefore R _{n} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^{n-1}$ $\displaystyle r _{n} = \frac{R _{n} - \frac{1}{\sqrt{2}} R _{n}}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 \sqrt{2}} R _{n} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 \sqrt{2}} \left( \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right) ^{n-1}$ $\displaystyle T _{n} = \pi \left\{ \frac{\sqrt{2} - 1}{2 \sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^{n-1} \right\} ^{2} = \pi \frac{( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}}{8} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} 4 T _{n} = 4 \pi \frac{( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}}{8} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1}$ $\displaystyle = 4 \pi \frac{( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}}{8} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = ( 3 - 2 \sqrt{2} ) \pi$