공통수학2원의 방정식수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

원 내부 격자점 개수

문제

좌표평면에서 함수 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - x + 10 & ( x < 10 ) \\ ( x - 10 ) ^{2} & ( x \geq 10 ) \end{cases}}$ 과 자연수 $n$ 에 대하여 점 $( n , f ( n ) )$ 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $3$ 인 원 $O _{n}$ 이 있다. $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점 중에서 원 $O _{n}$ 의 내부에 있고 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프의 아랫부분에 있는 모든 점의 개수를 $A _{n}$ , 원 $O _{n}$ 의 내부에 있고 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프의 윗부분에 있는 모든 점의 개수를 $B _{n}$ 이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} ( A _{n} - B _{n} )$ 의 값은? [ $4$ 점] ① $19$ ② $21$ ③ $23$ ④ $25$ ⑤ $27$

정답 보기

④

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 조건을 만족시키는 점의 개수의 합을 구할 수 있는가? 각 경우로 나누면 다음과 같다. $( \mathrm{i} )$ $n \leq 7$ 일 때, 대칭성을 이용하여 조사하면 원 $O _{n}$ 의 내부에 있고 곡선 $y = f ( x )$ 의 아랫부분에 있는 점의 개수와 원 $O _{n}$ 의 내부에 있고 곡선 $y = f ( x )$ 의 윗부분에 있는 점의 개수가 같으므로 $A _{n} - B _{n} = 0$

$( \mathrm{ii} )$ $n = 8$ 일 때, 아래 그림에서 대칭성을 이용하여 조사하면 $A _{8} - B _{8} = 0$

$( \mathrm{iii} )$ $n = 9$ 일 때, 아래 그림에서 $A _{9} - B _{9} = 12 - 8 = 4$

$( \mathrm{iv} )$ $n = 10$ 일 때, 아래 그림에서 $A _{10} - B _{10} = 17 - 4 = 13$

$( \mathrm{v} )$ $n = 11$ 일 때, 아래 그림에서 $A _{11} - B _{11} = 15 - 7 = 8$

$( \mathrm{vi} )$ $12 \leq n \leq 20$ 일 때, 대칭성을 이용하여 조사하면 원 $O _{n}$ 의 내부에 있고 곡선 $y = f ( x )$ 의 아랫부분에 있는 점의 개수와 원 $O _{n}$ 의 내부에 있고 곡선 $y = f ( x )$ 의 윗부분에 있는 점의 개수가 같으므로 $A _{n} - B _{n} = 0$

따라서, 구하는 값은 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} ( A _{n} - B _{n} ) = 4 + 13 + 8 = 25$

← 전체 문제 목록으로

원 내부 격자점 개수

문제

자료 내려받기

해설

태그

비슷한 문제 더 보기