원 내부 격자점 불연속

[출제의도] 함수의 연속 추론하기 함수 $f \left( t \right)$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = t ^{2}$의 내부에 포함되는 정수 격자점의 개수이므로 다음과 같이 구할 수 있다. $\displaystyle f \left( t \right) = {\begin{cases} 1 & \left( 0 < t \leq 1 \right) \\ 5 & \left( 1 < t \leq \sqrt{2} \right) \\ 9 & \left( \sqrt{2} < t \leq 2 \right) \\ \vdots & \vdots \end{cases}}$ 위와 같이 원 $x ^{2} + y ^{2} = t ^{2}$이 정수 격자점을 지날 때마다 함수 $f \left( t \right)$는 불연속이 된다. 그러므로 원점으로부터 거리(반지름의 길이 $t$)가 서로 다른 정수 격자점의 개수를 세면 함수 $f \left( t \right)$가 불연속이 되는 $t$의 개수를 알 수 있다. $0 < t < 6$이므로 원점으로부터 거리(반지름의 길이 $t$)가 서로 다른 정수 격자점은 그림과 같이 영역 $\displaystyle {\begin{cases} 0 < x ^{2} + y ^{2} < 6 ^{2} & \\ 0 \leq y \leq x & \end{cases}}$에서 찾을 수 있다.

$x = 1$일 때, $( 1 , 0 )$, $( 1 , 1 )$ $x = 2$일 때, $( 2 , 0 )$, $( 2 , 1 )$, $( 2 , 2 )$ $x = 3$일 때, $( 3 , 0 )$, $( 3 , 1 )$, $( 3 , 2 )$, $( 3 , 3 )$ $x = 4$일 때, $( 4 , 0 )$, $( 4 , 1 )$, $( 4 , 2 )$, $( 4 , 4 )$ $x = 5$일 때, $( 5 , 0 )$, $( 5 , 1 )$, $( 5 , 2 )$, $( 5 , 3 )$ 여기서 주의할 점은 그림과 같이 두 좌표 $( 5 , 0 )$과 $( 4 , 3 )$은 원점으로부터 거리(반지름의 길이 $t$)가 같다. 따라서 불연속이 되는 $t$의 개수는 $17$이다. [참고] 구체적으로 $0 < t < 6$일 때, 함수 $f ( t )$가 불연속일 때의 좌표와 $t$의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.