원 모양 확률밀도함수

주어진 그림은 확률밀도 함수기 떄문에 $\displaystyle x = 0 , x = ( 1 + \sqrt{3} ) r , f ( x ) , x$축으로 둘러쌓인 부분의 넓이는 1이다. 이 때, 그림1에 주어진 파란색 보조선을 그리면 주어진 부분의 넓이는 부채꼴, 직각삼각형, 사분원의 넓이의 합으로 표현됨을 알 수 있다. 주어진 부채꼴은 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$, 반지름이 $2 r$이고 직각삼각형은 밑변$\displaystyle = \sqrt{3} r$, 높이는 $r$이며 사분원은 반지름이 $r$인 원 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{4}$이다. $\therefore$ 넓이=$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot ( 2 r ) ^{2} \cdot \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} r \cdot r + \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot r ^{2} = 1$ $\displaystyle \therefore r ^{2} = \frac{1}{\left( \frac{2}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{12}{11 \pi + 6 \sqrt{3}}$ 이 때, 구해야 하는 확률은 그림2의 빨간 보조선과 $x = 0 , f ( x ) , x$축으로 둘러쌓인 부분의 넓이를 구하면 된다. 이 때, 주어진 그림은 파란 보조선에 의해 직각삼각형과 부채꼴로 나눠서 구하면 된다. 직각삼각형은 밑변이 $r$, 높이가 $\displaystyle \sqrt{3} r$이고 부채꼴은 반지름이 $2 r$, 중심각이 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$이므로 구하려는 확률 $\displaystyle p = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} r \cdot r + \frac{1}{2} \cdot ( 2 r ) ^{2} \cdot \frac{\pi}{6} = r ^{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{3} \right)$ $\displaystyle = \frac{12}{11 \pi + 6 \sqrt{3}} \cdot \left( 6 \sqrt{3} + 4 \pi \right) \cdot \frac{1}{12} = \frac{4 \pi + 6 \sqrt{3}}{11 \pi + 6 \sqrt{3}}$