공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 접선과 현 길이

문제

원 $x ^{2} + y ^{2} = 64$ 위의 한 점 $\mathrm{P} \left( 8 , 0 \right)$ 에서 원 $\left( x - 4 \right) ^{2} + y ^{2} = 1$ 에 그은 두 접선이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 64$ 와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A , B}$ 라 할 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$ 의 길이의 제곱을 구하시오. [ $4$ 점]

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해설

작은 원의 중심을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 그림에서 직각삼각형 $\mathrm{PRC}$ 와 직각삼각형 $\mathrm{PAQ}$ 는 닮음이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = 4 , \overline{AP} = 4 \sqrt{15}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{AH}} = \frac{1}{16} \times 4 \times 4 \sqrt{15} = \sqrt{15}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2 \sqrt{15}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{AB}} ^{2} = 60$

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