원 접선 선분 극한

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 함수의 극한값을 추론한다.

선분 $\mathrm{AD}$의 중점 $\mathrm{O}$는 원의 중심이고, 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{BH}} = \cos \theta$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} = 1 - \cos \theta$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CA}} = \sin \theta$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}} ^{2} = {\overline{CA}} \times \overline{CD}$이므로 $\displaystyle ( 1 - \cos \theta ) ^{2} = \sin \theta \times \overline{\mathrm{C}} D$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \frac{( 1 - \cos \theta ) ^{2}}{\sin \theta}$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\mathrm{\overline{CD}}}{\theta ^{3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\frac{\mathrm{( 1 - \cos \theta ) ^{2}}}{\sin \theta}}{\theta ^{3}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{( 1 - \cos \theta ) ^{2} ( 1 + \cos \theta ) ^{2}}{\theta ^{3} \sin \theta ( 1 + \cos \theta ) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{( 1 - \cos ^{2} \theta ) ^{2}}{\theta ^{3} \sin \theta ( 1 + \cos \theta ) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \left( \frac{\sin ^{3} \theta}{\theta ^{3}} \times \frac{1}{( 1 + \cos \theta ) ^{2}} \right)$$\displaystyle = \frac{1}{4}$ 따라서 $\displaystyle k = \frac{1}{4}$이므로 $100 k = 25$