미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 접선 기울기 급수

문제

자연수 nn에 대하여 원 (x−2n)2+y2=1( x - 2 n ) ^{2} + y ^{2} = 1과 원점을 지나는 직선이 제1사분면에서 접할 때, 이 직선의 기울기를 ana _{n}이라고 하자. ∑n=1∞an2\displaystyle \sum\limits _{{n} = 1} ^{\infty} a _{n} ^{2}의 값은? [4점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②23\displaystyle \frac{2}{3}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤22

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①

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해설

그림에서 접선의 기울기 ana _{n}은 an=tan⁡θ=14n2−1\displaystyle a _{n} = \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{4 n ^{2} - 1}} 따라서, ∑n=1∞an2=lim⁡n→∞∑k=1n(14k2−1)2\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} ^{2} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{1}{\sqrt{4 k ^{2} - 1}} \right) ^{2} =lim⁡n→∞∑k=1n14k2−1\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{4 k ^{2} - 1} =lim⁡n→∞∑k=1n12(12k−1−12k+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} \right) =lim⁡n→∞12{(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1} \right) \right\} =lim⁡n→∞12(1−12n+1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2 n + 1} \right) =12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#원의 접선#부분분수#급수

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