대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

원 둘레 등비수열 합

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 원점 O\mathrm{O} 을 지나며 반지름의 길이가 11, 34\displaystyle \frac{3}{4}, (34)2\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right) ^{2}, (34)3\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right) ^{3},⋯\cdots 인 원을 그려큰 원부터 차례로 S1,S2,S3,S4,⋯S _{1} , S _{2} , S _{3} , S _{4} , \cdots 라 하자. 원 S1S _{1} 부터 S10S _{10} 까지의 둘레의 길이의 합은? [3점] ⋯\cdots

①2π{1−(34)10}\displaystyle 2 \pi \left\{ 1 - {\left( \frac{3}{4} \right)} ^{10} \right\}②4π{1−(34)9}\displaystyle 4 \pi \left\{ 1 - {\left( \frac{3}{4} \right)} ^{9} \right\}③4π{1−(34)10}\displaystyle 4 \pi \left\{ 1 - {\left( \frac{3}{4} \right)} ^{10} \right\}④8π{1−(34)9}\displaystyle 8 \pi \left\{ 1 - {\left( \frac{3}{4} \right)} ^{9} \right\}⑤8π{1−(34)10}\displaystyle 8 \pi \left\{ 1 - {\left( \frac{3}{4} \right)} ^{10} \right\}

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⑤

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해설

S1S _{1}의 둘레의 길이=2π= 2 \pi S2S _{2}의 둘레의 길이=2π(34)\displaystyle = 2 \pi \left( \frac{3}{4} \right) S3S _{3}의 둘레의 길이=2π(34)2\displaystyle = 2 \pi \left( \frac{3}{4} \right) ^{2} ⋮\vdots S10S _{10}의 둘레의 길이=2π(34)9\displaystyle = 2 \pi \left( \frac{3}{4} \right) ^{9} 이들의 합은 첫째항이 2π2 \pi이고 공비가 34\displaystyle \frac{3}{4}인 등비수열의 합이므로 2π{1−(34)10}1−34\displaystyle {2 \pi \frac{\left\{ {1 - \left( \frac{3}{4} \right. ) ^{10}} \right\}}{1 - \frac{3}{4}}}=8π{1−(34)10}\displaystyle = 8 \pi \left\{ 1 - \left( {\frac{3}{4}} \right) ^{10} \right\}

태그

#등비수열#합

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