미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 도형 넓이 급수

문제

그림과 같이 중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 11인 원 C1C _{1}이 있다. 원 C1C _{1} 위의 한 점 A\mathrm{A}를 잡고, 원 C1C _{1}과 반지름의 길이가 같고 두 점 O\mathrm{O}, A\mathrm{A}를 지나는 두 원이 원 C1C _{1}과 만나는 점 중에서 점 A\mathrm{A}가 아닌 점을 각각 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}라 할 때, 선분 CA\mathrm{CA}, 선분 AB\mathrm{AB}, 호 BO\mathrm{BO}, 호 OC\mathrm{OC}로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 원 C1C _{1}, 호 BO\mathrm{BO}, 호 OC\mathrm{OC}와 모두 접하는 원 C2C _{2}를 그린 후 원 C2C _{2}에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①2263π\displaystyle \frac{22}{63} \pi②2363π\displaystyle \frac{23}{63} \pi③821π\displaystyle \frac{8}{21} \pi④2563π\displaystyle \frac{25}{63} \pi⑤2663π\displaystyle \frac{26}{63} \pi

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④

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해설

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 문제해결하기

π3\displaystyle \frac{\pi}{3}

그림 R1R _{1}에서 세 점 A\mathrm{A}, O\mathrm{O}, C\mathrm{C}를 지나고 반지름의 길이가 11인 원의 중심을 D\mathrm{D}라 할 때, DO‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{DO}} = 1이므로 점 D\mathrm{D}는 원 C1C _{1} 위에 있다. 점 D\mathrm{D}는 선분 AC\mathrm{AC}의 수직이등분선과 원 C1C _{1}의 교점이므로 삼각형 OAD\mathrm{OAD}, OCD\mathrm{OCD}는 정삼각형이고, 선분 OD\mathrm{OD}와 선분 AC\mathrm{AC}의 교점을 H\mathrm{H}라 하면 OH‾=HD‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = {\overline{HD}} = \frac{1}{2}, AH‾=CH‾=32\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = {\overline{CH}} = \frac{\sqrt{3}}{2}이다. (모양의 도형 OHC\mathrm{OHC}의 넓이) =(부채꼴 DOC\mathrm{DOC}의 넓이)-(삼각형 DHC\mathrm{DHC}의 넓이)=π6−38\displaystyle \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} (삼각형 OHA\mathrm{OHA}의 넓이)=38\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8} 모양의 도형 ABOC\mathrm{ABOC}의 넓이 S1S _{1}은 S1=2S _{1} = 2(모양의 도형 OHC\mathrm{OHC}의 넓이+삼각형 OHA\mathrm{OHA}의 넓이) =2(π6−38+38)=π3\displaystyle = 2 \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8} \right) = \frac{\pi}{3} 그림 RnR _{n}에서 원 CnC _{n}의 중심을 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}, 반지름의 길이를 rnr _{n}, 원 CnC _{n}위의 한 점을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}이라 하자.

On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} On\mathrm{O} _{\mathit{n}} Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}}

Cn+1C _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} An\mathrm{A} _{\mathit{n}} CnC _{\mathit{n}}

그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부인 위 그림에서 두 점 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}, An\mathrm{A} _{\mathit{n}}을 지나고 반지름의 길이가 rnr _{n}인 원의 중심을 Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}}이라 하자. 삼각형 OnOn+1Dn\mathrm{O} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n} + 1} D _{\mathit{n}}에서 ∠DnOnOn+1=23π\displaystyle \angle \mathrm{D} _{\mathit{n}} \mathrm{O} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n} + 1} = \frac{2}{3} \pi, OnOn+1‾=rn−rn+1\displaystyle \overline{\mathrm{O} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n} + 1}} = r _{n} - r _{n + 1}, DnOn‾=rn\displaystyle \overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}} = r _{n}, DnOn+1‾=rn+rn+1\displaystyle \overline{\mathrm{D} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n} + 1}} = r _{n} + r _{n + 1}이므로 코사인법칙에 의해 (rn+rn+1)2\left( r _{n} + r _{n + 1} \right) ^{2}=(rn−rn+1)2+rn2−2rn(rn−rn+1)cos⁡23π\displaystyle = \left( r _{n} - r _{n + 1} \right) ^{2} + r _{n} ^{2} - 2 r _{n} \left( r _{n} - r _{n + 1} \right) \cos \frac{2}{3} \pi rn+1=25rn\displaystyle r _{n + 1} = \frac{2}{5} r _{n} 모양의 도형의 닮음비는 원의 반지름 길이의 비와 같으므로, 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}, 공비가 425\displaystyle \frac{4}{25}인 등비수열의 합이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn=π31−425=2563π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{1 - \frac{4}{25}} = \frac{25}{63} \pi

태그

#등비급수#도형

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