원 도형 등비급수

[출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한다. 그림 $R _{{1}}$에서 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{1}$이라 하면 $S _{1}$은 그림과 같이 정사각형 $\mathrm{A} BCD$의 내부와 원 $C _{2}$의 외부의 공통부분의 넓이와 같다.

직각삼각형 $\mathrm{FCE}$가 $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = \mathrm{\overline{CE}} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FE}} = \sqrt{2}$ 따라서 선분 $\mathrm{A} D$의 중점을 $\mathrm{G}$라 하면 $S _{1} =$(직사각형 $\mathrm{ABEG}$의 넓이) $-${(부채꼴 $\mathrm{EFG}$의 넓이)-(직각삼각형 $\mathrm{EFG}$의 넓이)} $\displaystyle = ( 2 \times 1 ) - \left\{ \pi \times \left( \sqrt{2} \right) ^{2} \times \frac{1}{4} - \left( \sqrt{2} \right) ^{2} \times \frac{1}{2} \right\}$ $\displaystyle = 3 - \frac{\pi}{2}$ $R _{{2}}$에서 정사각형 $\mathrm{PQRS}$의 한 변의 길이 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}}$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{FR}} = \mathrm{\overline{FE}} = \sqrt{2}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{FQR}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} ^{2}$$\displaystyle = ( \sqrt{2} ) ^{2} - \left( \frac{{\overline{\mathrm{QR}}}}{2} \right) ^{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ $R _{1}$에서 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 한 변의 길이가 $2$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}}$$\displaystyle = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$이므로 $R _{2}$에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이 $S _{2}$는 $S _{2}$$\displaystyle = \left( \frac{2 \sqrt{10}}{5} \times \frac{1}{2} \right) ^{2} \times S _{1}$$\displaystyle = \frac{2}{5} S _{1}$ 같은 방법으로 $R _{n + 1}$에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이는 $R _{n}$에서 추가로 색칠된 도형의 넓이의 $\displaystyle \frac{2}{5}$배이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$$\displaystyle = \frac{3 - \frac{\pi}{2}}{1 - \frac{2}{5}}$$\displaystyle = \frac{30 - 5 \pi}{6}$