미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

원 등분 마름모 극한

문제

그림과 같이 중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 11인 원의 둘레를 n(n≥4)n ( n \geq 4 )등분한 점을 A1\mathrm{A} _{\mathit{1}}, A2\mathrm{A} _{\mathit{2}}, ⋯\cdots, An\mathrm{A} _{\mathit{n}}이라 하자. 호 AiAi+1\mathrm{A} _{\mathit{i}} A _{\mathit{i} + 1}(i=1,2,⋯ ,ni = 1 , 2 , \cdots , n)을 이등분한 점을 Mi\mathrm{M} _{\mathit{i}}라 하고 사각형 AiMiAi+1Ni\mathrm{A} _{\mathit{i}} M _{\mathit{i}} A _{\mathit{i} + 1} N _{\mathit{i}}가 마름모가 되도록 하는 선분 OMi\mathrm{OM} _{\mathit{i}} 위의 점을 Ni\mathrm{N} _{\mathit{i}}라 하자. nn개의 사각형 A1M1A2N1\mathrm{A} _{\mathit{1}} M _{\mathit{1}} A _{\mathit{2}} N _{\mathit{1}}, A2M2A3N2\mathrm{A} _{\mathit{2}} M _{\mathit{2}} A _{\mathit{3}} N _{\mathit{2}}, A3M3A4N3\mathrm{A} _{\mathit{3}} M _{\mathit{3}} A _{\mathit{4}} N _{\mathit{3}}, ⋯\cdots, AnMnAn+1Nn\mathrm{A} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n}} A _{\mathit{n} + 1} N _{\mathit{n}}의 넓이의 합을 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞(n2×Sn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( n ^{2} \times S _{n} \right)}의 값은? (단, An+1=A1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} = A _{\mathit{1}}) [4점]

①π3\pi ^{3}②2π32 \pi ^{3}③3π33 \pi ^{3}④4π34 \pi ^{3}⑤5π35 \pi ^{3}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 삼각함수의 극한값 추론하기

선분 MiNi\mathrm{M} _{\mathit{i}} N _{\mathit{i}}의 중점을 Bi\mathrm{B} _{\mathit{i}}라 하면 ∠AiOMi=πn\displaystyle \angle \mathrm{A} _{\mathit{i}} OM _{\mathit{i}} = \frac{\mathit{\pi}}{n}이므로 AiBi‾=sin⁡πn\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{i}} B _{\mathit{i}}}} = \sin \frac{\pi}{n}, BiMi‾=1−OBi‾=1−cos⁡πn\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{i}} M _{\mathit{i}}}} = 1 - {\overline{\mathrm{OB} _{\mathit{i}}}} = 1 - \cos \frac{\pi}{n} □AiMiAi+1Ni=4×△AiMiBi\mathrm{\square} A _{\mathit{i}} \mathrm{M} _{\mathit{i}} \mathrm{A} _{\mathit{i} + 1} \mathrm{N} _{\mathit{i}} = 4 \times \triangle \mathrm{A} _{\mathit{i}} \mathrm{M} _{\mathit{i}} \mathrm{B} _{\mathit{i}} =4×12×sin⁡πn×(1−cos⁡πn)\displaystyle = 4 \times \frac{1}{2} \times \sin \frac{\pi}{n} \times \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) Sn=n×□AiMiAi+1NiS _{n} = n \times \square \mathrm{A} _{\mathit{i}} M _{\mathit{i}} A _{\mathit{i} + 1} N _{\mathit{i}}=2nsin⁡πn(1−cos⁡πn)\displaystyle = 2 n \sin \frac{\pi}{n} \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) n2×Sn=2n3sin⁡πn(1−cos⁡πn)\displaystyle n ^{2} \times S _{n} = 2 n ^{3} \sin \frac{\pi}{n} \left( 1 - \cos \frac{\pi}{n} \right) =2π3×sin⁡πn(1−cos⁡2πn)π3n3(1+cos⁡πn)\displaystyle = 2 \pi ^{3} \times \frac{\sin \frac{\pi}{n} \left( 1 - \cos ^{2} \frac{\pi}{n} \right)}{\frac{\pi ^{3}}{n ^{3}} \left( 1 + \cos \frac{\pi}{n} \right)} =2π3{sin⁡πnπn×sin⁡2πn(πn)2×11+cos⁡πn}\displaystyle = 2 \pi ^{3} \left\{ \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}} \times \frac{\sin ^{2} \frac{\pi}{n}}{\left( \frac{\pi}{n} \right) ^{2}} \times \frac{1}{1 + \cos \frac{\pi}{n}} \right\} 따라서 lim⁡n→∞(n2×Sn)=π3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( n ^{2} \times S _{n}} ) = \pi ^{3}

태그

#삼각함수의 극한#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로