원 밖의 점에서 그은 접선

[출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기 점 $\left( 2 , - 4 \right)$에서 원 $x ^{2} + y ^{2} = 2$에 그은 접선의 기울기를 $m$이라 하면 접선의 방정식은 $y + 4 = m \left( x - 2 \right)$이다. 원의 중심 $\left( 0 , 0 \right)$과 직선 $y + 4 = m \left( x - 2 \right)$ 사이의 거리는 반지름의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| - 2 m - 4 \right|}{\sqrt{1 + m ^{2}}} = \sqrt{2}$에서 $m ^{2} + 8 m + 7 = 0$ $m = \mathit{-} 1$ 또는 $m = \mathit{-} 7$ $y = mx - 2 m - 4$가 $y$축과 만나는 점의 좌표는 $\left( 0 , - 2 \right)$, $\left( 0 , 10 \right)$ 따라서 $a + b = 8$