원 밖의 점 접선 기울기

[출제의도] 원의 접선의 방정식 구하기 접점을 $\mathrm{Q} ( \mathit{x} _{1} , y _{1} )$이라 하면 점 $\mathrm{Q}$는 원 위의 점이므로 $x _{1} ^{2} + y _{1} ^{2} = 9$ ……① 접점 $\mathrm{Q}$에서의 접선의 방정식을 구하면 $x _{1} x + y _{1} y = 9$ …… ② 이 때, ②가 점 $( 4 , 3 )$을 지나므로 점 $( 4 , 3 )$을 ②에 대입하면 $4 x _{1} + 3 y _{1} = 9$ …… ③ ③을 ①에 대입하면 $\displaystyle x _{1} ^{2} + \left( - \frac{4}{3} x _{1} + 3 \right) ^{2} = 9$ ⇒ $25 x _{1} ^{2} - 72 x _{1} = 0$ ∴ $x _{1} = 0$ 또는 $\displaystyle x _{1} = \frac{72}{25}$ 이것을 각각 ③에 대입하여 $y _{1}$을 구하면 $x _{1} = 0$일 때 $y _{1} = 3$, $\displaystyle x _{1} = \frac{72}{25}$일 때 $\displaystyle y _{1} = - \frac{21}{25}$ 그러므로 기울기는 $0$ 또는 $\displaystyle \frac{24}{7}$ 따라서, 조건에 맞는 기울기는 $\displaystyle \frac{24}{7}$이므로 $p + q = 7 + 24 = 31$ [별해] $\mathrm{P} ( 4 , 3 )$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y - 3 = m ( x - 4 )$이다. 원과 직선이 접하려면 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 반지름과 같아야 하므로 $\displaystyle \frac{\left| 4 m - 3 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 3$이고 양변을 제곱하여 정리하면 $16 m ^{2} - 24 m + 9 = 9 m ^{2} + 9$ ⇒ $7 m ^{2} - 24 m = 0$ ∴ $m = 0$ 또는 $\displaystyle m = \frac{24}{7}$ 따라서, 조건에 맞는 기울기는 $\displaystyle \frac{24}{7}$이므로 $p + q = 7 + 24 = 31$