원 안의 각과 sin2θ

그림과 같이 점 $\mathrm{D}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = \overline{\mathrm{OB}} = 2 a$로 놓으면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{ED}} = \overline{\mathrm{EO}} = a$

즉, $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \sqrt{\overline{BE} ^{2} + \overline{ED} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{( 3 a ) ^{2} + a ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{10} a$ 따라서, 직각삼각형 $\mathrm{BDE}$로부터 $\displaystyle \sin \theta = \frac{\overline{\mathrm{DE}}}{\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{a}{\sqrt{10} a} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{\overline{\mathrm{BE}}}{\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{3 a}{\sqrt{10} a} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\sin} 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \times \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$