미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 안 접원 넓이 극한

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하고 중심이 O\mathrm{O}인 원 CC가 있다. 원 CC 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠PAB=θ\angle \mathrm{PAB} = \theta라 할 때, 선분 AB\mathrm{AB} 위에 ∠APQ=2θ\mathrm{\angle} APQ = 2 \theta를 만족시키는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 직선 PQ\mathrm{PQ}가 원 CC와 만나는 점 중 P\mathrm{P}가 아닌 점을 R\mathrm{R}라 할 때, 중심이 삼각형 AQP\mathrm{AQP}의 내부에 있고 두 선분 PA\mathrm{PA}, PR\mathrm{PR}에 동시에 접하는 원을 C′C'이라 하자. 원 C′C'이 점 O\mathrm{O}를 지날 때, 원 C′C'의 반지름의 길이를 r(θ)r \left( \theta \right), 삼각형 BQR\mathrm{BQR}의 넓이를 S(θ)S \left( \theta \right)라 하자. lim⁡θ→0+S(θ)r(θ)=a\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S \left( \theta \right)}{r \left( \theta \right)}} = a 일 때, 45a45 a의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π4\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{4}) [4점]

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120

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해설

원 C′C'의 중심을 O′\mathrm{O}', 원 C′C'과 선분 PA\mathrm{PA}가 만나는 점을 H\mathrm{H}라 하자.

삼각형 OPA\mathrm{OPA}는 이등변삼각형이므로 ∠OPA=θ\mathrm{\angle} OPA = \theta r(θ)=O′O‾=O′H‾\displaystyle r ( \theta ) = \overline{\mathrm{O}' O} = \overline{\mathrm{O}' H}이므로 PO′‾=2−r(θ)\displaystyle \overline{\mathrm{PO}'} = 2 - r ( \theta ) 삼각형 O′PH\mathrm{O}' PH에서 ∠PHO′=π2\displaystyle \angle \mathrm{PHO}' = \frac{\pi}{2}이므로 sin⁡θ=O′H‾PO′‾=r(θ)2−r(θ)\displaystyle \sin \theta = \frac{\overline{\mathrm{O}' H}}{\overline{\mathrm{PO}'}} = \frac{r ( \theta )}{2 - r ( \theta )} r(θ)=2sin⁡θ1+sin⁡θ\displaystyle r ( \theta ) = \frac{2 \sin \theta}{1 + \sin \theta} ∠PRB\angle \mathrm{PRB}는 호 BP\mathrm{BP}의 원주각이므로 ∠PRB=θ\angle \mathrm{PRB} = \theta ∠RBA\angle \mathrm{RBA}는 호 AR\mathrm{AR}의 원주각이므로 ∠RBA=2θ\angle \mathrm{RBA} = 2 \theta 선분 AB\mathrm{AB}가 원 CC의 지름이므로 삼각형 ARB\mathrm{ARB}는 직각삼각형이고 RB‾=4cos⁡2θ\displaystyle \overline{\mathrm{RB}} = 4 \cos 2 \theta이다. 삼각형 QRB\mathrm{QRB}에서 사인법칙에 의하여 RB‾sin⁡(∠BQR)=RQ‾sin⁡(∠RBQ)\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{RB}}}{\sin ( \angle \mathrm{BQR} )} = \frac{\overline{\mathrm{RQ}}}{\sin ( \angle \mathrm{RBQ} )} 4cos⁡2θsin⁡(π−3θ)=RQ‾sin⁡2θ\displaystyle \frac{4 \cos 2 \theta}{\sin ( \pi - 3 \theta )} = \frac{\overline{\mathrm{RQ}}}{\sin 2 \theta}, RQ‾=4sin⁡2θcos⁡2θsin⁡3θ\displaystyle \overline{\mathrm{RQ}} = \frac{4 \sin 2 \theta \cos 2 \theta}{\sin 3 \theta} S(θ)=12×RQ‾×RB‾×sin⁡θ\displaystyle S ( \theta ) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{RQ}} \times \overline{\mathrm{RB}} \times \sin \theta lim⁡θ→0+S(θ)r(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{S ( \theta )}{r ( \theta )}}=lim⁡θ→0+8sin⁡θsin⁡2θ(cos⁡2θ)2sin⁡3θ2sin⁡θ1+sin⁡θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {\frac{\frac{8 \sin \theta \sin 2 \theta ( \cos 2 \theta ) ^{2}}{\sin 3 \theta}}{\frac{2 \sin \theta}{1 + \sin \theta}}} =lim⁡θ→0+4sin⁡2θ(cos⁡2θ)2(1+sin⁡θ)sin⁡3θ\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0+} {\frac{4 \sin 2 \theta ( \cos 2 \theta ) ^{2} ( 1 + \sin \theta )}{\sin 3 \theta}} =lim⁡θ→0+{4sin⁡2θsin⁡3θ×(cos⁡2θ)2(1+sin⁡θ)}\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0+} {\left\{ \frac{4 \sin 2 \theta}{\sin 3 \theta} \times ( \cos 2 \theta ) ^{2} ( 1 + \sin \theta ) \right\}} =4×23×12×(1+0)=83\displaystyle = 4 \times \frac{2}{3} \times 1 ^{2} \times ( 1 + 0 ) = \frac{8}{3} 따라서 a=83\displaystyle a = \frac{8}{3}이므로 45a=12045 a = 120

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#삼각함수의 극한#도형

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