월리스 수열 귀납법 빈칸

다음은 $\displaystyle a _{0} = \frac{\pi}{2} , a _{1} = 1$, $\displaystyle a _{n + 2} = \frac{n + 1}{n + 2} a _{n}$$( n = 0 , 1 , 2 , \cdots )$ 으로 정의된 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$에 대하여 $\displaystyle a _{2 n + 1} \leq \frac{I}{\sqrt{n}} \leq a _{2 n - 2}$ $( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 가 성립할 때,$I$ 의 값을 구하는 과정이다. Ⅰ) 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle na _{n} a _{n - 1} = \frac{\pi}{2}$임을 수학적귀납법으로 증명하면 ⅰ) $n = 1$일 때, $\displaystyle a _{1} \cdot a _{0} = 1 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$이므로 성립한다. ⅱ) $n = k$일 때 성립한다고 가정하면 $n = k + 1$일 때, $( k + 1 ) a _{k + 1} a _{k} = ( k + 1 )$ (가) $\displaystyle a _{k} = \frac{\pi}{2}$ 이므로 성립한다. Ⅱ) 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 감소하는 수열임을 수학적귀납법으로 증명하면 $\cdots$ 중략 $\cdots$ 따라서 $a _{n} \geq a _{n + 1}$ $( n = 0 , 1 , 2 , 3 , \cdots )$이다. 조건에서 $\displaystyle a _{2 n + 1} \leq \frac{I}{\sqrt{n}} \leq a _{2 n - 2}$이고 수열$\left\{ a _{n} \right\}$이 감소하는 수열이므로 $na _{2 n + 2} a _{2 n + 1} \leq$(나) $\leq na _{2 n - 2} a _{2 n - 3}$ 임을 유추할 수 있다. 그러므로 Ⅰ)에 의해서 $2$이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{n \pi}{2 ( 2 n + 2 )} \leq$(나) $\displaystyle \leq \frac{n \pi}{2 ( 2 n - 2 )}$ 따라서 $I =$(다) 이다.

위의 과정에서 $\left( {\text{가}} \right)$, $\left( {\text{나}} \right)$, $\left( {\text{다}} \right)$에 알맞은 것은? [4점]

$\left( {\text{가}} \right)$ $\left( {\text{나}} \right)$ $\left( {\text{다}} \right)$ ①$\displaystyle \frac{k}{k + 1} a _{k - 1}$ $I$ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$②$\displaystyle \frac{k + 1}{k} a _{k - 1}$ $I$ $\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$③$\displaystyle \frac{k}{k + 1} a _{k - 1}$ $I ^{2}$ $\displaystyle \frac{\pi}{4}$④$\displaystyle \frac{k + 1}{k} a _{k - 1}$ $I ^{2}$ $\displaystyle \frac{\pi}{4}$⑤$\displaystyle \frac{k}{k + 1} a _{k - 1}$ $I ^{2}$ $\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$