우물 양수량 비

우물에서 단위 시간당 끌어올리는 물의 양을 양수량이라 한다. 양수량이 일정하면 우물의 수위는 일정한 높이를 유지하게 된다. 우물의 영향권의 반지름의 길이가 $R$$\mathrm{\left( m \right)}$인 어느 지역에 반지름의 길이가 $r$$\mathrm{\left( m \right)}$인 우물의 양수량을 $Q$$($$\mathrm{m} ^{3} /$분$)$, 원지하수의 두께를 $H$$\mathrm{\left( m \right)}$, 양수 중 유지되는 우물의 수심을 $h$$\mathrm{\left( m \right)}$라고 할 때, 다음 관계식이 성립한다고 한다. $\displaystyle Q = \frac{k \left( H ^{2} - h ^{2} \right)}{\log \left( \frac{R}{r} \right)}$ (단, $k$는 양의 상수이다.) 우물의 영향권의 반지름의 길이가 $512$$\mathrm{m}$로 일정한 어느 지역에 두 우물 $A$, $B$가 있다. 반지름의 길이가 $1$$\mathrm{m}$인 우물 $A$와 반지름의 길이가 $2$$\mathrm{m}$인 우물 $B$의 양수량을 각각 $Q _{A}$$($$\mathrm{m} ^{3} /$분$)$, $Q _{B}$$($$\mathrm{m} ^{3} /$분$)$이라 하자. 우물 $A$, $B$의 원지하수의 두께가 모두 $8$$\mathrm{m}$일 때, 양수 중 두 우물의 수심이 모두 $6$$\mathrm{m}$를 유지하였다. $\displaystyle \frac{Q _{A}}{Q _{B}}$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{4}{5}$②$\displaystyle \frac{5}{6}$③$\displaystyle \frac{6}{7}$④$\displaystyle \frac{7}{8}$⑤$\displaystyle \frac{8}{9}$