공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

움직이는 점과 사다리꼴 넓이 비

문제

그림과 같이 AD‾=120\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 120인 직사각형 ABCD\mathrm{ABCD}가 있다. 점 P\mathrm{P}는 A\mathrm{A}에서 출발하여 D\mathrm{D}방향으로 매초 a2a ^{2} 만큼, 점 Q\mathrm{Q}는 C\mathrm{C}에서 출발하여 B\mathrm{B}방향으로 매초 5a5 a만큼 이동한다. 점 P,Q\mathrm{P} , Q가 동시에 출발하여 55초 후 사다리꼴 PABQ\mathrm{PABQ}와 사다리꼴 PQCD\mathrm{PQCD}의 넓이의 비가 5:75 : 7이 되도록 상수 aa의 값을 정할 때, 모든 aa의 값의 합은? (단, 0<a<4.80 < a < 4.8) [4점]

①22②33③44④55⑤66

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④

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해설

[출제의도] 이차방정식을 활용하여 수학 내적문제 해결하기 55초 후 AP‾=5a2,QC‾=25a\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \mathit{=} 5 a ^{2} , \mathrm{\overline{QC}} \mathit{=} 25 a이다. AB‾=h\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{h}라 할 때, (□PABQ\square \mathrm{PABQ}의 넓이)=5a2+(120−25a)2×h\displaystyle = \frac{5 a ^{2} + \left( 120 - 25 a \right)}{2} \times h (□PQCD\square \mathrm{PQCD}의 넓이)=25a+(120−5a2)2×h\displaystyle = \frac{25 a + ( 120 - 5 a ^{2} )}{2} \times h 이다. 5a2+(120−25a)2h:25a+(120−5a2)2h=5:7\displaystyle \frac{5 a ^{2} + ( 120 - 25 a )}{2} h : \frac{25 a + ( 120 - 5 a ^{2} )}{2} h = 5 : 7 에서 a2−5a+4=0,a=1,4a ^{2} - 5 a + 4 = 0 , a = 1 , 4 따라서 aa의 값의 합은 55이다.

태그

#이차방정식 활용#넓이

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