울타리 농장 넓이

[출제의도] 이차함수의 최대, 최소 문제해결하기

$135 ^\circ$ $150 - 2 x - y$

그림과 같이 직사각형의 세로와 가로의 길이를 각각 $x$, $y$라 하자. $X$의 넓이는 $xy$이고, 철망의 길이가 $150$이므로 사다리꼴의 아랫변의 길이는 $150 - 2 x - y$이다. 점 $\mathrm{A}$에서 사다리꼴의 아랫변에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AB}$의 길이는 $x$이고 $\angle \mathrm{CAB} = 45 ^\circ$이므로 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는 $x$이다. 사다리꼴의 윗변의 길이는 $\left( 150 - 2 x - y \right) - x = 150 - 3 x - y$ $Y$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} x \left\{ \left( 150 - 3 x - y \right) + \left( 150 - 2 x - y \right) \right\}$$\displaystyle = \frac{1}{2} x \left( 300 - 5 x - 2 y \right)$ $X$의 넓이는 $Y$의 넓이의 $2$배이므로 $xy = x \left( 300 - 5 x - 2 y \right)$ $\displaystyle y = 100 - \frac{5}{3} x$ $($$Y$의 넓이$)$$\displaystyle = \frac{\mathit{1}}{2} xy$$\displaystyle = \frac{1}{2} x \left( 100 - \frac{5}{3} x \right)$$\displaystyle = - \frac{5}{6} x ^{2} + 50 x$ $\displaystyle = - \frac{5}{6} \left( x - 30 \right) ^{2} + 750$ 따라서 $x = 30$일 때, $Y$의 넓이의 최댓값 $S$는 $750$