대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

톱니바퀴 속력

문제

$A$ 축을 돌려서 발생한 동력을 체인을 통하여 $B$ 축에 전달하는 장치가 있다. $A$ 축에는 $A _{1} , A _{2} , A _{3}$ , $B$ 축에는 $B _{1} , B _{2} ,$ $B _{3} , \cdots , B _{7}$ 의 크기가 서로 다른 톱니바퀴가 달려 있다. $A$ 축을 일정한 속력으로 돌릴 때, $B$ 축의 속력은 다음과 같다.


	Ⅰ. $A _{i + 1}$ 과 $B _{j}$ 를 연결할 때의 속력은 $A _{i}$ 와 $B _{j}$ 를 연결할 때의 속력보다 $15 \%$ 증가한다. ( $i = 1 , 2 , j = 1 , 2 , 3 , \cdots , 7$ ) Ⅱ. $A _{i}$ 와 $B _{j + 1}$ 을 연결할 때의 속력은 $A _{i}$ 와 $B _{j}$ 를 연결할 때의 속력보다 $20 \%$ 증가한다. ( $i = 1 , 2 , 3 , j = 1 , 2 , 3 , \cdots , 6$ )

이 때, $B$ 축의 속력의 최댓값은 최솟값의 몇 배인가? (단, $\log 1.15 = 0.06 , \log 1.2 = 0.08 , \log 2 = 0.30$ ) [4점]

$\mathrm{A}$ 축 $\mathrm{B}$ 축

① $1.15$ ② $1.2$ ③ $2$ ④ $2.3$ ⑤ $4$

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⑤

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해설

[출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활 문제 해결하기 $B$ 축의 속력의 최솟값은 $A _{1}$ 과 $B _{1}$ 을 연결할 때이고, 그 값을 $x$ 라 하자. 또, $B$ 축의 속력의 최댓값은 $A _{3}$ 과 $B _{7}$ 을 연결할 때이다. 주어진 조건에 의하여 $B$ 축의 속력의 최댓값은 $( 1.15 ) ^{2} ( 1.2 ) ^{6} x$ 이다. $\log ( 1.15 ) ^{2} ( 1.2 ) ^{6} = 2 \log 1.15 + 6 \log 1.2$ $= 0.60 = \log 2 ^{2}$ 이므로, $( 1.15 ) ^{2} ( 1.2 ) ^{6} = 2 ^{2}$ 따라서 $B$ 축의 속력의 최댓값은 최솟값의 $4$ 배이다.

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