미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

TOP 도형의 길이

문제

그림과 같이 길이가 11인 선분 22개로 만든 ‘TOPTOP’ 모양의 도형을 S0S _{0}이라 하자. 도형 S0S _{0}의 위쪽에 있는 선분의 양끝에 길이가 13\displaystyle \frac{1}{3}인 선분 22개로 만든 ‘TOPTOP’ 모양의 도형을 붙여 도형 S1S _{1}을 만든다. 이와 같은 방법으로 도형 Sn−1S _{n-1}의 가장 위쪽에 있는 각 선분의 양끝에 길이가 (13)n\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{n}인 선분 22개로 만든 ‘TOPTOP’ 모양의 도형을 붙여 도형 SnS _{n}을 만든다. 도형 SnS _{n}을 이루는 모든 선분의 길이의 합을 lnl _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞ln\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} l _{n}의 값을 구하시오. [4점]

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6

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해설

ln=2×1+22×13+23×(13)2\displaystyle l _{n} = 2 \times 1 + 2 ^{2} \times \frac{1}{3} + 2 ^{3} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2}+24×(13)3+⋯+2n+1(13)n\displaystyle + 2 ^{4} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} + \cdots + 2 ^{n+1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{n}이므로 lim⁡n→∞ln=2×1+22×13+23×(13)2\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} l _{n} = 2 \times 1 + 2 ^{2} \times \frac{1}{3} + 2 ^{3} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{2}+24×(13)3+⋯+2n+1(13)n+⋯\displaystyle + 2 ^{4} \times \left( \frac{1}{3} \right) ^{3} + \cdots + 2 ^{n+1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{n} + \cdots =2{1+23+(23)2+⋯+(23)n+⋯ }\displaystyle = 2 \left\{ 1 + \frac{2}{3} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} + \cdots + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n} + \cdots \right\} =2×11−23\displaystyle = 2 \times \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} =6= 6

태그

#등비급수#도형

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