공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

트랙 속력 행렬

문제

트랙의 길이가 300m\mathrm{300} m인 원형 트랙을 따라 두 선수 PP와 QQ가 각각 일정한 속력으로 달리는 [상황 11]과 [상황 22]는 다음과 같다.

[상황 11] 같은 지점에서 동시에 반대 방향으로 출발한 PP와 QQ가 출발 후 처음 만나는데 걸린 시간은 2020초이다. [상황 22] 같은 지점에서 동시에 같은 방향으로 출발한 PP와 QQ가 [상황 11]과 같은 속력으로 달릴 때, 출발 후 처음 만나는데 걸린 시간은 300300초이다.

[상황 22] 같은 지점에서 동시에 같은 방향으로 출발한 PP와 QQ가 [상황 11]과 같은 속력으로 달릴 때, 출발 후 처음 만나는데 걸린 시간은 300300초이다.

이때, PP와 QQ의 속력을 각각 xx((m/\mathrm{m} /초)), yy((m/\mathrm{m} /초)) (x>y)( x > y )라 하고 이를 구하는 식을 행렬을 이용하여 나타내면 다음과 같다. (xy)=−12(−1ab1)(151)\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = - \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} - 1 & a \\ b & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 15 \\ 1 \end{pmatrix}} 두 실수 aa, bb에 대하여 b−30ab - 30 a의 값을 구하시오. (단, 원형트랙의 폭은 무시한다.) [4점]

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29

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해설

[출제의도] 역행렬과 연립일차방정식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 (거리)==(속력)×\times(시간)이므로 {20x+20y=300300x−300y=300\displaystyle {\begin{cases} 20 x + 20 y = 300 & \\ 300 x - 300 y = 300 & \end{cases}} 연립방정식을 행렬로 나타내면 (111−1)(xy)=(151)\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 15 \\ 1 \end{pmatrix}} (xy)=−12(−1−1−11)(151)\displaystyle {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = - \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 15 \\ 1 \end{pmatrix}} =−12(−1ab1)(151)\displaystyle = - \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} - 1 & a \\ b & 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 15 \\ 1 \end{pmatrix}} ∴ a=−1a = - 1, b=−1b = - 1 따라서 b−30a=29b - 30 a = 29

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#역행렬#실생활

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