대수삼각함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

텐트 문 활꼴 넓이

문제

그림과 같이 텐트의 출입문은 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하는 반원이다. 이 텐트의 출입문에는 양 방향으로 문을 열 수 있는 지퍼가 있다. 지퍼의 두 손잡이의 위치가 각각 반원 위의 두 점 A,B\mathrm{A} , B에 오도록 문을 열었을 때, 중심각 ∠AOB\mathrm{\angle} AOB의 크기는 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}이고 바깥으로 젖혀진 활꼴의 넓이가 112(27−102)(π−3)\displaystyle \frac{1}{12} ( 27 - 10 \sqrt{2} ) ( \pi - 3 )이다. 이 문의 반지름의 길이는? [3점]

①3−2\displaystyle 3 - \sqrt{2}②4−2\displaystyle 4 - \sqrt{2}③5−2\displaystyle 5 - \sqrt{2}④6−2\displaystyle 6 - \sqrt{2}⑤7−2\displaystyle 7 - \sqrt{2}

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③

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해설

[출제의도] 이중근호와 도형의 넓이를 이용한 수학 외적 문제해결하기

(활꼴의 넓이) ==(부채꼴 AOB\mathrm{AOB}의 넓이)−-(삼각형 AOB\mathrm{AOB}의 넓이) =12r2×π6−12r2sin⁡π6=112r2(π−3)\displaystyle \begin{aligned} = \frac{1}{2} r ^{2} \times \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2} r ^{2} \sin \frac{\pi}{6} \\ = \frac{1}{12} r ^{2} ( \pi - 3 ) \end{aligned} 따라서 112(27−102)(π−3)=112r2(π−3)\displaystyle \frac{1}{12} ( 27 - 10 \sqrt{2} ) ( \pi - 3 ) = \frac{1}{12} r ^{2} ( \pi - 3 ) r2=27−102\displaystyle r ^{2} = 27 - 10 \sqrt{2} ∴ r=27−102=5−2\displaystyle r = \sqrt{27 - 10 \sqrt{2}} = 5 - \sqrt{2}

태그

#부채꼴#이중근호#실생활

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