타원의 접선과 삼각형

[출제의도] 타원의 접선의 방정식 이해하기 점 $\mathrm{F}$의 $x$좌표를 $c$라 하면 $\displaystyle c = \sqrt{40 - 15} = 5$이므로 $\mathrm{F} \left( 5 , 0 \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}} = {\overline{\mathrm{FQ}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = 10$에서 $\mathrm{Q} \left( 10 , 0 \right)$ 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{\left( \mathit{x} _{1} , y _{1} \right)}$이라 하면 타원 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x _{1}}{40} x + \frac{y _{1}}{15} y = 1$ 이 직선의 $x$절편이 $10$이므로 $x _{1} = 4$ 점 $\mathrm{P} \mathrm{\left( \mathit{4} , y _{1} \right)}$이 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{40} + \frac{y ^{2}}{15} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{4 ^{2}}{40} + \frac{y _{1} ^{2}}{15} = 1$에서 $y _{1} = 3$ 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = 3$ 따라서 삼각형 $\mathrm{POQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OQ}}} \times {\overline{\mathrm{PH}}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 3 = 15$