타원의 접선과 초점

[출제의도] 타원 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 타원의 방정식에서 두 초점의 좌표를 구할 수 있는가? 점 $\left( 2 , 1 \right)$이 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{4}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위의 점 $\left( 2 , 1 \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{2 x}{a ^{2}} + \frac{y}{b ^{2}} = 1$ 즉, $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{2 b ^{2}}{a ^{2}} x + b ^{2}$ 이고, 주어진 조건에 의하여 접선의 기울기가 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle - \frac{2 b ^{2}}{a ^{2}} = \mathit{-} \frac{1}{2}$ $a ^{2} = 4 b ^{2}$ 이것을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{4}{4 b ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = 1$, $b ^{2} = 2$, $a ^{2} = 8$ 그러므로 주어진 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 타원의 두 초점을 각각 $\mathrm{F} \left( \mathit{c} , 0 \right)$, $\mathrm{F}' \mathit{\left( - c , 0 \right)}$ $\left( c > 0 \right)$이라 하면 $c ^{2} = 8 - 2 = 6$ 이므로 $\displaystyle c = \sqrt{6}$ 따라서 구하는 두 초점 사이의 거리는 $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} = 2 \sqrt{6}$