타원과 원의 접선

[출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = \mathit{k}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}'}} = \frac{3}{2} {\overline{\mathrm{PF}}} = \frac{3}{2} \mathit{k}$ 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $k + 5$이므로 타원의 장축의 길이는 $2 \left( k + 5 \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = 2 \left( \mathit{k} + 5 \right) \mathit{-} {\overline{\mathrm{QF}'}} = \frac{k}{2} + 10$ 점 $\mathrm{F}$를 지나고 직선 $\mathrm{F}' P$에 평행한 직선을 $\mathrm{\mathit{l}}$, 두 직선 $\mathrm{Q} \mathrm{F}'$, $\mathrm{\mathit{l}}$의 교점을 $\mathrm{\mathrm{H}}$라 하자.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{QH}}} = \mathrm{\overline{QF'}} + \mathrm{\overline{F' H}} = \frac{3}{2} \mathit{k} + k = \frac{5}{2} k$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}} = {\overline{\mathrm{F}' P}} = \sqrt{\mathrm{\overline{F' F}} ^{2} - \mathrm{\overline{PF}} ^{2}} = \sqrt{100 - \mathit{k} ^{2}}$ 삼각형 $\mathrm{QHF}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \left( \frac{5}{2} k \right) ^{2} + \left( 100 - k ^{2} \right) = \mathrm{\left( \frac{\mathit{k}}{2} \mathit{+} 10 \right)} ^{2}$ $k \left( k - 2 \right) = 0$에서 $k > 0$이므로 $k = 2$ 따라서 타원의 장축의 길이는 $2 \left( k + 5 \right) = 2 \times 7 = 14$