기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 원의 교점 자취

문제

좌표평면에서 점 $A ( 0 , 4 )$ 와 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{5} + y ^{2} = 1$ 위의 점 $P$ 에 대하여 두 점 $A$ 와 $P$ 를 지나는 직선이 원 $x ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 1$ 과 만나는 두 점 중에서 $A$ 가 아닌 점을 $Q$ 라 하자. 점 $P$ 가 타원 위의 모든 점을 지날 때, 점 $Q$ 가 나타내는 도형의 길이는? [3점] ① $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ② $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ③ $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{2}{3} \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{4} \pi$

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④

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해설

위의 그림처럼 점 $A$ 에서 타원에 그은 두 접선의 접점을 각각 $P _{1} , P _{2}$ 라고 하면, 점 $P$ 가 타원 위에서 움직일 때, 점 $Q$ 의 자취는 원 위의 점 $Q _{1}$ 에서 $Q _{2}$ 까지이다. $\displaystyle y = mx \pm \sqrt{a ^{2} m ^{2} + b ^{2}}$ 에서 $\displaystyle 4 = \pm \sqrt{5 m ^{2} + 1}$ $\displaystyle \therefore m ^{2} = 3 , m = \pm \sqrt{3}$ $\displaystyle \therefore \angle OAP _{1} = \angle OAP _{2} = \frac{\pi}{6}$ 원의 중심을 $C$ 라고 하면 $\displaystyle \angle Q _{1} CQ _{2} = 2 \cdot \angle Q _{1} AQ _{2} = \frac{2 \pi}{3}$ 따라서, 점 $Q$ 가 나타내는 도형의 길이는 부채꼴 $CQ _{1} Q _{2}$ 에서 $\displaystyle 1 \cdot \left( \frac{2}{3} \pi \right) = \frac{2}{3} \pi$

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