타원과 원의 교점

[출제의도] 타원의 방정식을 이해하고 교점의 좌표를 구한다.

타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$의 두 초점의 좌표를 각각 $\left( c , 0 \right)$, $\left( - c , 0 \right)$ (단, $c > 0$) 이라 하면 $c ^{2} = 25 - 16 = 9$에서 $c = 3$ 따라서 점 $\mathrm{B}$는 타원의 한 초점이고 다른 한 초점은 $\mathrm{C} ( - 3 , 0 )$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} + \overline{PC} = 10$이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PB} = 10$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \overline{PC}$ 타원의 장축의 길이는 $10$이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $( - 5 , 0 )$이다. 즉, 삼각형 $\mathrm{PAC}$는 이등변삼각형이므로 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $- 4$이다. $\displaystyle \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$에서 $\displaystyle y ^{2} = 16 \left\{ 1 - \frac{( - 4 ) ^{2}}{25} \right\}$ $\displaystyle y = \frac{12}{5}$ 또는 $\displaystyle y = - \frac{12}{5}$ $\displaystyle \mathrm{P} \left( - 4 , \frac{12}{5} \right)$ 또는 $\displaystyle \mathrm{P} \left( - 4 , - \frac{12}{5} \right)$이므로 $\displaystyle r = \mathrm{\overline{PA}} \mathit{\mathrm{=}} \sqrt{\left. ( - 5 + 4 \right) ^{2} + \left( 0 - \frac{12}{5} \right) ^{2}} = \frac{13}{5}$ ∴ $10 r = 26$